请教:四维或者更高维向量的叉乘定义

s_51563946

叉乘的集合意义是已知道N维空间中的N-1个基向,可以求出与这N-1个基向量正交的另一个基向量吧.   
有的书上说叉乘只在3维上有定义,就是vec1和vec2相乘得:   
(vec1.y   *   vec2.z   -   vec1.z   *   vec2.y,   
vec1.z   *   vec2.x   -   vec1.x   *   vec2.z,   
vec1.x   *   vec2.y   -   vec1.y   *   vec2.x   )   
其实(我觉得)如果是2维的话那就是一个向量,求它的垂直向量就是叉乘了.   
4维向量的叉乘应该是3个向量相乘.按照某些网上的说法来说是这样定义的:   
V1   x   V2   x   V3   =   
                ¦i.   j.   k.   l. ¦   
                ¦x1   y1   z1   w1 ¦   
                ¦x2   y2   z2   w2 ¦   
                ¦x3   y3   z3   w3 ¦   
其中i,j,k,l是4维空间中的4个基向量.   
但我通过程序代码实现后发现测试不对.叉乘我是这么写的:   
inline   Vector4   Vector_Util::cross_product(const   Vector4&   vec1,   const   Vector4&   vec2,   const   Vector4&   vec3)   
{   
        /*   
        V1   x   V2   x   V3   =   
                ¦i.   j.   k.   l. ¦   
                ¦x1   y1   z1   w1 ¦   
                ¦x2   y2   z2   w2 ¦   
                ¦x3   y3   z3   w3 ¦   
        */   

        Real   a   =   vec1.x*vec2.y   -   vec1.y*vec2.x;   
        Real   b   =   vec1.x*vec2.z   -   vec1.z*vec2.x;   
        Real   c   =   vec1.x*vec2.w   -   vec1.w*vec2.x;   
        Real   d   =   vec1.y*vec2.z   -   vec1.z*vec2.y;   
        Real   e   =   vec1.y*vec2.w   -   vec1.w*vec2.y;   
        Real   f   =   vec1.z*vec2.w   -   vec1.w*vec2.z;   

        return   Vector4(   f*vec3.y   -   e*vec3.z   +   d*vec3.w,   
                                        f*vec3.x   +   c*vec3.z   -   b*vec3.w,   
                                        e*vec3.x   -   c*vec3.y   +   a*vec3.w,   
                                        d*vec3.x   +   b*vec3.y   -   a*vec3.z);   
}   

测试是随便找了3个不共面的向量比如:   
(1,2,3,4)(-4,-2,3,1)(10,-8,6,5)   
应该叉乘得到的向量始终是和这3个向量垂直的,也就是说和它们分别做点乘应该都是得到0.但为什么算出来老是不对么?   

(1,2,3,4)(-4,-2,3,1)(10,-8,6,5)这3个做叉集算出来是   
72,-63,266,-36   
这个,着实不知道怎么回事了     

ricohcanon

还真不知道>=4D的叉乘表示什么意义，顶一下，看看有没有知道的。

s_51563946

恩,我觉得既然在3D中叉乘求给定两向量代表平面的法线,那在4D中也应该表示给定空间的法线么.
简单的说,3个不共面的向量可以构成一个空间的3个基,就可以代表一个空间了.那么4D中有4个基向量塞,4D的叉乘就是3个4维向量相乘,得到的一个4维向量应该就是和另外3个向量正交的么.也就是点乘的结果都为0啊.
在D3DXVec4Cross中也有是接受3个4D向量,求得一个向量的.我按照他给的说法来算了结果和上面的不符合^

phyar

楼主的理解是没有问题的，N维空间中N-1个线性无关向量确实可以求出唯一一个（方向上唯一）向量和这N-1个向量都正交，其实不用N-1个也可以，只是需要自己填充基向量。
叉积一般是针对3维空间的，所以说其他高维空间没有叉积也不算太错。
这种运算本质上是求代数余子式，在形式上我更喜欢把i j k l放在最后一行。
楼主的代码错误之处在于最后一步运算的符号问题，改成这样应该就可以了：
        return   Vector4(   f*vec3.y   -   e*vec3.z   +   d*vec3.w,   
                                        -(f*vec3.x   -   c*vec3.z   +   b*vec3.w),   
                                        e*vec3.x   -   c*vec3.y   +   a*vec3.w,   
                                        -(d*vec3.x   -   b*vec3.y   +   a*vec3.z));   

规律就是正负号是交叉的。（-1的N次方）

instemast

在制作4dEngine时就搜索过，貌似数学上没有定义4d叉乘。。。
7d的叉乘是有的。

没办法，4d中的旋转，是围绕平面进行的。
比如，围绕xy平面旋转n度。

s_51563946

汗,原来是算错的.
呵呵,真是谢谢各位了.现在搞对了

ricohcanon

哦，原来如此，真是三天不学习，赶不上刘少奇啊。

zhang_475815

学习了 原来这么多知识啊  一辈子都不够用啊