点积的问题

thanksgiving

向量a与向量b的点积 在几何上是这样定义的： |a||b|cos<a,b>，
然后在解析几何上是： a.x*b.x + a.y*b.y + a.z*b.z
请问解析几何上的这个点积公式是怎么证明出来的，我GOOGLE，百度都查了，都没有证明，就2个公式

bskk

这问题问个高中生就知道了！

bskk

没记错应该叫余玄定理吧：
c*c = a*a + b*b - 2*a*b*cos<a,b>,
把坐标代进去，化简就成了！

thanksgiving

能给个详细的证明吗

bskk

向量a、b，以及二者终点的连线构成一个三角形，
用上面的余玄定理(a,b,c分别表示三角形3条边的长度)：
边长c的平方 = (a.x - b.x)^2 + (a.y - b.y)^2 + (a.z - b.z)^2   ----->用了勾股定理，对吧？
边长b的平方 = b.x^2 + b.y^2 + b.z^2   
边长c的平方 = a.x^2 + a.y^2 + a.z^2   

代入余玄定理，将等式左右边展开，消掉平方项，不就是：
a * b * cos<a,b> = a.x * b.x + a.y * b.y + a.z * b.z

仔细想一下，对吧？

thanksgiving

谢谢！