困惑：装备强化有降级情况

xiaofanaa

题目与答案如下表：
0        成功率        失败惩罚              平均强化次数        0~3平均需要强化次数        计算机模拟结果
+1        50%          降为0                     2                    2+15+125=142             142
+2        20%          降为+1                    15               
+3        10%                                     125               

其中：1/50%=2
      1/20%+1/(50%*20%)=15
      1/10%+1/(50%*20%*10%)+1/(20%*10%)+1/(20%)=125
Matlab模拟代码：————————————————
x=zeros(100000,1);
for i = 1:100000
    m=0;%装备级数
    n=0;%强化次数
    for j=1:100000
        s=rand(1,1);
        if m==0           
           if s<0.5
               m=1;
               n=n+1;
           else
               n=n+1;
           end
        elseif m==1            
            if s<0.2
                m=2;
                n=n+1;
            else
                m=0;
                n=n+1;
            end
        elseif m==2            
            if s<0.1
                m=3;
                n=n+1;
            else
                m=1;
                n=n+1;
            end
        else
            break
        end              
    end
    x(i,1)=n;%每次0加至+3需要的强化次数分别记录在x矩阵的第一个至第10万个
end
AverageCount=sum(x)/100000
________________________________
结果如下：
AverageCount =

  142.13
_________________________________
————————————————————————————
各位大侠高手，帮忙解释一下我的式子的含义？如有错误，请指出并留下贵言。
会高数的也可以谈谈自己的看法与结果，小弟在此谢了。。。。。。。[em6]

aler

现在需要设置一个装备强化系统，用强化宝石进行强化，强化成功，则装备的品质+1。
装备的品质：
装备的品质，由低至高：
+0，+1，+2，+3，+4
强化失败的后果：
如果是+1、+2，失败没有惩罚。
如果是上+3、+4，失败后品质会-1。
强化宝石：
无论强化是否成功，强化宝石都消失。
要求：
要求计算+1，+2，+3，+4的成功几率。满足：
1． 从+1开始，平均升级到+4，需要耗费20颗强化宝石
2． 一般情况下，随着品质逐步提高，成功几率下降
3． 满足上文提及的其它的条件

搭车同求。
不求解题的程序代码，不只求答案。
求用数学理论解题的思路、解决办法。愿得到各位大虾的指点。

荒原

唉，再次科普一下，本题以及它的最一般的推广，涉及到的数学理论就是 离散马尔可夫过程，

参考帖子：http://bbs.gameres.com/showthread.asp?threadid=126346&page=2

不过很多初级的概率论教程，甚至专业的随机过程的教科书对此研究得都不怎么深入，只是泛泛谈些转移矩阵的性质。推荐 人民邮电出版社的图灵原版数学：《随机过程高级教程》，它对此研究得比较深入。不过更专业的研究，需要查阅相关论文。对于普通的人员来说，上面的教程足以

吖尘

楼主你排版没排好啊，+2失败降0，+3失败降1，看了半天才看明白

xiaofanaa

    谁可以解释一下下面的意思：  
      1/50%=2
      1/20%+1/(50%*20%)=15
      1/10%+1/(50%*20%*10%)+1/(20%*10%)+1/(20%)=125

哈耶克

xiaofanaa: Re:困惑：装备强化有降级情况

    谁可以解释一下下面的意思：  
      1/50%=2
      1/20%+1/(50%*20%)=15
      1/10%+1/(50%*20%*...

第一和第二还有点道理，第三有凑数字的嫌疑，为什么？以下是我的分析

我去看了下马尔可夫链的基础知识，还好，楼主的问题可以直接用那些知识解决，比较简单快捷（就不解释那些马尔可夫的基础知识了，三言两语说不清楚，但学会的话，会发现很简单）：

假定0到1，1到2，2到3的概率分别是p1,p2,p3,失败都是降1级（0级不降级），那么转移矩阵是
1-p1 p1 0 0
1-p2 0 p2 0
0 1-p3 0 p3
0 0 0 1
Q矩阵是前3*3矩阵，即
1-p1 p1 0
1-p2 0 p2
0 1-p3 0
基础矩阵(I-Q)^(-1)是
p1 -p1 0
p2-1 1 -p2
0 p3-1 1
的逆矩阵

我这种懒人，对此只能用Maple伺候，在Maple里键入
with(LinearAlgebra):
MatrixInverse(Matrix([[p1, -p1, 0], [p2-1, 1, -p2], [0, p3-1, 1]]));
结果是
Matrix(3, 3, {(1, 1) = (1+p2*p3-p2)/(p1*p2*p3), (1, 2) = 1/(p2*p3), (1, 3) = 1/p3, (2, 1) = -(p2-1)/(p1*p2*p3), (2, 2) = 1/(p2*p3), (2, 3) = 1/p3, (3, 1) = (p2-1)*(p3-1)/(p1*p2*p3), (3, 2) = -(p3-1)/(p2*p3), (3, 3) = 1/p3})

所以，如果你开始的位置是0，升级到3所需要的次数是
(1+p2*p3-p2)/(p1*p2*p3)+1/(p2*p3)+1/p3
把此题里的p1=0.5,p2=0.2,p3=0.1代入，得到142，与程序模拟相符；


如果你开始的位置是2，升级到3所需要的次数是
(p2-1)*(p3-1)/(p1*p2*p3)-(p3-1)/(p2*p3)+1/p3

把此题里的p1=0.5,p2=0.2,p3=0.1代入，得到127

这说明最后一个算式没什么意义，更可能是凑数字。

不凑数字的话，看看用你们的推理，把特殊数字换成p1,p2,p3，能不能推出上面我说的公式：
总次数=(1+p2*p3-p2)/(p1*p2*p3)+1/(p2*p3)+1/p3


还有，要说一句，在组合和离散领域里，很多用高级方法获得的结论不是用初级手段也可以推得的，不信的话，去看看Stanley的计数组合数学，那里很多最高难度的题目甚至open problem都是要求用初等方法推出用高级方法（比如矩阵方法，生成函数，复变函数解析理论等）得出的结论。即使能推得，也不是你我能想到的

aler

哈耶克，我就快成为你粉丝了。。。。

handcacat

回2楼，这个好像答案不确定，我的一个调试答案为：从+1到+4几率分别为0.5，0.4482，0.417，平均花费20.00381块宝石

也是新人，还未入门，路过顺便学习马氏矩阵。。。。。。

handcacat

顺便在这里求职求带成都的数值策划
新人没经验求个职真有这么难么。。。。。。。。

xuerppiao

给个答案

0升级1，没有任何问题， 1/0.5=2

1升级2，失败降0，设期望次数为x，考虑第一次有失败和成功两种结果：
成功概率0.2，次数为 1；
失败概率0.8，失败后平均需要2+x次才能升级3成功，加上第一次，总次数为 3+x 。
故有 0.2×1+ 0.8×(3+x)=x ； x = 2.6/0.2 = 13。

2升级3，同理可得
0.1×1 + 0.9×(1+13+x)=x； x = 12.7/0.1 = 127。

因此，期望为 2,13,127…
如果每次都只降一级，则有递推公式
X(n+1) = 1 + (1-p)(1+X(n))/p

考虑过这种方式的强化，不过被否了......
感觉算这个期望也没啥意思，不是数值能力所在