排名赛的理论模型：正态分布，得分规则及其他

荒原

排名赛的理论模型：正态分布，得分规则及其他


假定有1000个玩家，他们进行排名赛，两两根据一定的配对规则，进行配对比赛，胜负根据双方的名次来决定得分和失分的多少。

现在问题是，如果每两个人之间比赛的胜率是固定的，是否存在这样的得分规则，使得稳定的得分分布近似满足均值为1000，标准差为200的正态分布（得分分布是个离散情形，正态分布是连续情形，不过在近似意义上两者可以相近）？

对问题进行形式化描述，对玩家的编号进行连续化处理。假定现在已经处于稳定状态了，得分的分布函数是g,累积概率函数是G,由于知道不同排名的两个玩家双方的胜率，所以可以假定给定了p(x,y)，此函数代表排名为x的玩家对排名为y的玩家的胜率，其中x,y是[0,1]上的均匀分布，与通常的法则相反，x取1，代表其排名第一，取0反而代表排名最后。

现在一个得分为n的玩家，假如匹配规则是他可以与得分区间在[n-d,n+d]的玩家随机匹配，得分t的玩家的分布权重是g(t)。得分规则是此时的玩家，他胜利一场的得分与失败一场的失分的比值是f(n)。那么如果得分分布处于稳定状态，这代表每个得分的玩家，他与可以匹配的对手(随机匹配后)进行比赛，平均得分是0


用方程表示，结果是

int(f(n)*p(G(n),G(t))-(1-p(G(n),G(t))))*g(t)dt=0

积分区间是[n-d,n+d]

该等式对于一切n均成立

问题是如果g(t)是正态分布密度函数，那么是否存在这样的f，使得上面的等式成立。遗憾的是，我还不知道怎么解这个问题，有人能提供资料么，凭感觉我觉得这类问题的数学理论已经成熟了。

由此可以引申下面的一系列问题：稳定方程的解法或者数值解法；其次是稳定状态是否真的是演化的一个稳定不动点；再次，收敛到稳定状态的速度如何，是否存在一个收敛速度最快的法则

ps:不想讨论该模型的好坏，我很清楚很多人对我或者我的问题反感，但我只希望知道上面的方程在数学上是否有解或数值解

whphao

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`

哈耶克

在排名理论里，我记得有一个有名的数学建模题目就是 足球比赛排名 问题

那里提出的方法主要有 得分矩阵的最大特征值对应的特征向量；极大似然的概率模型方法

著名的bradley terry model类似于后一种方法，可以查阅相关文献来了解模型以及数值算法。

这些东西和楼主的模型有联系，但还不是一回事；我也不知道怎么解或者数值解 来解这类方程