一道面试题(关于向量点乘,叉乘的运用),求解!

zeusyu2009

已知一个斜面的法线n,和其与地面的夹角θ,求斜面上一小球的运动方向,用向量表示 [em20]
大家给点思路,,

yfplane

设地面向量为V且为单位向量,法向量为N,斜面向量为L,则将V向L投影,其水平分量为L',垂直分量为N'.
由三角公式及N'与N平行,则N' = sin(a)N.
根据投影公式, L' = L * (L dot V)/|L||L|; 又L dot V =  |L||V|cos(a),带入,
              L' = L * cos(a) * |V| / |L|;

则 L' + N' = V  得到:  L /|L| = (V - sin(a)N)/cos(a);即为斜面的方向向量,小球的方向与其正好相反.

大家来找茬

    个人觉得夹角θ是多余的，题目应该告诉的是地平面的法向量和斜面的法向量（楼上的yfplane同学也是假设了地面法向量N的），夹角θ的大小只能改变物体的斜面加速度的大小。
    其实只要用2次叉乘就搞定了。第1次用两平面的法向量叉乘求得斜面与地平面的公共边（向量），第2次通过公共边（向量）与斜面的法向量叉乘而求出得小球的运动方向。实现如下：

假设地平面为floor(f_Dir,P)，斜面为 incline(i_Dir,P)， 求小球的运动方向ball_Dir。

2个平面的公共向量 c = f_Dir叉乘i_Dir;

ball_Dir = c 叉乘 i_Dir;

PS:确实没用到点积。。。点积一般都用在向量的投影上,结果是一个标量，是不具有方向的。
还是再说一下为什么用不到夹角θ。简单一点，假设这道题是在2D上面，那么小球的运动方向一定是在斜面上的，由于是2D的，所以面成了线，即小球的运动方向就是斜线方向，斜线与法向量垂直，法向量是已知的。所以θ多余。扩展到3D上也是一样的道理。