正交矩阵的疑惑

hzhzzhouqq

最近在某书中看到如下关于正交矩阵的定义和定理，有一事百思不得其解，望有高人能解答下。

注:M(-1)表示M的逆矩阵，M(T)表示M的转置矩阵, I代表单位矩阵。

定义3.1 一个n*n的可逆矩阵M，当且仅当M(-1)=M(T)时,M为正交矩阵。

定理3.2 如果向量组V1,V2, ..., Vn构成一个正交向量集合，那么Vj(1<=j<=n)作为第j列的N*N的矩阵是正交矩阵.

根据以上定义定理，我想验证一下.

假设V1= (x1, y1), V2=(x2, y2)它们是一个正交向量集合。按列向量构成矩阵M= [x1  x2]   
                                                                        [y1  y2],

转置矩阵M(T)= [x1  y1]   那么M(T)*M=[x1*x1 + y1*y1   x1*x2 + y1*y2 ] = [1 0] = I,
              [x2  y2],             [x2*x1 + y2*y1   x2*x2 + y2*y2 ]   [0 1]

交换位置相乘， M*M(T)=[x1*x1 + x2*x2    x1*y1+x2*y2] 这个矩阵等于I吗？如果不等I, M(T)还能成为M的逆矩阵吗?
                      [y1*x1 + y2*x2    y1*y1+y2*y2]

xpertsoft

好好学习线性代数去

snhun

xp猪，就会说这些

“你去看看书吧”“你去自学吧”之类的最恶心了

izayoi

。。。当然是了，无论如何都是个单位矩阵。最典型的2个向量就是(1,0),(0,1)

wsz317sky

  是的， 线性代数有这个公式.
        M~ * M = I = M * M~

??b我心

对于AB=I
ABB(-1)=B(-1)
所以A=B(-1),
所以对于一般可逆正方形矩阵，lz的假设其实都是成立的．

huazai434

如果AB=I成立，则BA=I一定也成立，且A，B互为逆矩阵。楼主要是学过线性代数的话，这个定理应该烂熟于心，不应该有疑问。
另外定理3.2不太完整：V1到Vn仅仅是正交的，不能确保M是正交矩阵，还必须附加一个条件：v1到vn均为单位向量，即v1到vn构成标准正交基。