AABB的转换问题，想不通

yang101

AABB取长方体为包围盒，发生转换后生成新的AABB;其中Pmin,Pmax是类AABB的成员变量。

void AABB::xform(const D3DXMATRIX& M, AABB& out)
{
// Convert to center/extent representation.
D3DXVECTOR3 c = center();  <--即c=(Pmin+Pmax)/2
D3DXVECTOR3 e = extent();  <--即e=(Pmax-Pmin)/2

// Transform center in usual way.
D3DXVec3TransformCoord(&c, &c, &M);

// Transform extent.
D3DXMATRIX absM;
D3DXMatrixIdentity(&absM);
absM(0,0) = fabsf(M(0,0)); absM(0,1) = fabsf(M(0,1)); absM(0,2) = fabsf(M(0,2));
absM(1,0) = fabsf(M(1,0)); absM(1,1) = fabsf(M(1,1)); absM(1,2) = fabsf(M(1,2));
absM(2,0) = fabsf(M(2,0)); absM(2,1) = fabsf(M(2,1)); absM(2,2) = fabsf(M(2,2));
D3DXVec3TransformNormal(&e, &e, &absM); //因为平移不影响向量的计算
// Convert back to AABB representation.
out.minPt = c - e;
out.maxPt = c + e;
}

摘自龙书－讲地形的章节

对M分量取绝对值，这一点，我想不通。请高人指点。

Luna

Ogre的源代码也是采用这种方式对AABB进行转换。
首先，对M中的值取绝对值会使得该向量的旋转不会出现负值；
其次，考虑到在构建AABB盒的时候，物品在AABB空间中是正负对称的。当我们分别取center和extent来对这个盒子进行旋转的时候，在盒子坐标系中，我们是以该盒子的中心来进行旋转。
举个例子：向量extent（x，y，z）绕Y轴旋转deta角，从Z轴往下看（Z轴朝向眼睛），那么与 extent相对应的一个向量为leftExtent（-x，y，z），这个也是从AABB中心指向AABB左上角的一个向量。那么向量与矩阵相乘如下
               ｛cos deta, 0, -sin deta｝
（x，y，z）*   ｛0,        1, 0       ｝
               ｛sin deta, 0, cos deta｝
extent--->extent1(x1, y1, z1),leftExtent-->extent2(x2, y2, z2)
x1 == cos deta * x + sin deta * z    x2 == （-x）*cos deta + sin deta * z
y1 == y     y2 == y
z1 == - sin deta * x + cos deta * z    z2 == (-x) * (-sin deta) + cos deta * z
假设deta 范围（0,pi/2）,则sin deta > 0, cos deta>0.
在构建新的AABB的时候，我们仍然取最大值（x1, y, z2），如果取绝对值，结果也是这个。
可以推广到其它轴，不知道我这样理解对不对。

yang101

谢谢楼上的。
必要：
Pmin' = c-e   c不变，e取最大
Pmax' = c+e   c不变，e取最大 ，也就是说e的取法是一致，要尽可能取大的。

e为向量，平移不影响数值，只考虑旋转；而c进行转换后，已经考虑了平移的情况。
所以接下来，只要以盒子中心旋转就可以了。
又因为e各分量>0，
所以M各分量取了绝对值后，c-e*M和c+e*M必然取到极值（这里的e是指转换前的向量）,

充分：
而M又是可以看作是绕x轴旋转，绕y轴，绕z轴旋转的组合。不妨将M分解成M=Mz*My*Mx
于是e*M=e*Mz*My*Mx
对于e*Mz,记e(x,y,z),x,y,z均>0，转换后（x',y',z'=z）
因为Mz转换后只改变x,y分量，按时针方向，有两种情形(复数计算公式)：
逆时针转 (x*cosa-y*sina,y*cosa+x*sina)
顺时针转 (x*cosa+y*sina,y*cosa-x*sina)
不管Mz实际是什么效果，绝对值后，值取为（x*cosa+y*sina，y*cosa+x*sina），这就相当于对于物体在xy平面上，绕z轴逆时针和顺时针各转一次得到图形，其c-e*Mz，c+e*Mz两个极值确定范围，刚好严格地把物体包围在里面（投影方向）。

接下来的，经过*My*Mx的处理，3维方向上保证了盒子刚好把物体包围起来,