炉石传说的竞技场模式平均胜场

扬州小栗旬

这是我在网易游戏策划第二轮面试中遇到的一道题目。
炉石传说的竞技场规则如下：每个玩家通过付费150金币或者12战网点获得一张门票，消耗门票开启一轮游戏，并和系统匹配到的其他竞技场玩家进行对战，每次胜利会使奖励升级，最多可以获得12场胜利后退出本轮游戏，如果此过程中失败三场，同样会退出。
通过计算玩家的平均胜场，可以平衡奖励的投放。
可惜我在面试时考虑的并不周全，现在重新做一下解答：
要解决这个问题，我们不妨进行以下两个假设：

（1）每个玩家总是会匹配到胜场数和他一样的玩家。
（2）没有人提前退出。
在（1）假设的基础上，胜场数和败场数是一样的，我们可以认为玩家在任何胜场数的时候，获得下一场游戏的玩家都是上一场玩家人数的一半。例如，每当两个3胜的玩家对战，获得4胜的必然只有其中一个。
以下的计算中，用计算概率的方法进行了计算，需要注意，此处的概率并不是指某一玩家个体下一场获胜的概率，而是全部玩家中获胜的玩家的比例。
玩家进行了m场游戏，败场数为n(n<3)的概率为：
P(n,m)=C (n,m)/2^m;
而当n=3时，第三场的失败必然是最后一场，也就是概率为：
P(3,m)=P(2,m-1)/2；
那么玩家以N(N<12)场胜利结束游戏的时候，概率为：
P(N)=P(3,N+3)=P(2,N+2)/2;
12胜的情况分为12胜0败，12胜1败，12胜2败，概率为：
P(12)=(P(0,11)+P(1,12)+P(2,13))/2;
好了，所有情况总结完毕；
概率的计算结果如下：

0	12.5
1	18.75
2	18.75
3	15.625
4	11.71875
5	8.203125
6	5.46875
7	3.515625
8	2.197265625
9	1.3427734375
10	0.8056640625
11	0.47607421875
12	0.64697265625

对胜场求数学期望：E=Σ(P(N)*N)=2.99157714844。
实际上，这和我们平时的感觉非常相似，也就是“三胜不亏”，而且一个惊人的事实是12胜的玩家实际上是要比11胜的玩家多的。
但是回到我们的假设(2)，由于一部分玩家会因为各种原因放弃自己的套牌，在到达三败之前退场，这就导致实际的平均胜场可能是低于3场的，因为一些玩家本可以从他们身上取得胜利。