从绿茶的“再来一瓶”想到的---人品爆发时是无法阻挡的

荒原

这个奖我从来没中过，只是有人说他曾经中了，接着奖励的那瓶又中了。。。

我突然想起了一个问题，如果奖品不只是“再来一瓶”，而是有“再来两瓶”，“再来三瓶”,...。当然后面情形有各自的概率，消费者买了一瓶，理论上中奖后平均会获得几瓶呢？（假定消费者会把所有的瓶盖打开，不放过每个中奖机会）。从饮料的销售角度来说，当然不会出现这种奖励，因为没人会喝那么多，但我只是从概率论的角度来考虑问题。

获得的额外奖励瓶数的数学期望还算比较容易计算，但比如说计算获得10瓶奖励的几率，我就没找到计算思路。更一般的情形就更不容易了

这种“连锁反应”的数学模型，我想应该会被人研究过了，只是我还没找到相关文献，期待高人指点下思路

爱国爱家

我喝了50来瓶,中过20瓶.有一次超市买了一捆3个的"再来一瓶"冰红茶,居然全中

我不是马甲

等比数列求和（再搞个极限）

高中的一个选择题

我吃小孩

这个叫“几何分布”。假设总量N中有PN是中奖的，则中奖概率为P，不中则是（1-P）。连中n瓶的概率就是P^n(1-P)

荒原

楼上几位的想法低估了问题的难度，比如中4瓶时，有以下可能：

1，先中了1瓶，接着那瓶又中了，就这样连续中了4瓶。没错，这种情况下是可以用几何分布来做

2，直接中了4瓶，而这4瓶，都没中

3，中了2瓶，而他们又各自中了1瓶

4，中了2瓶，其中1瓶连中..

5，中了1瓶，而这1瓶又中了3瓶...

6，中了1瓶，那1瓶中了2瓶，这2瓶中的1个中了.

7，.....


总之，情况那是非常多，不说计算概率了，就是把所有情况的种数算出来都不是容易的事

这有点像汉诺塔，存在一定的递归关系，可以用这个关系算出期望值，但我不知道怎么算方差等其他数值特征~~

我不是马甲

LZ,你想多了！

你要知道，厂家可以出奖，他还是要挣得！

就这么说吧，卖瓶用3元，如果他的成本2元，你就得平均奖励一定小于1元。

这个奖励，就是包括你将来瓶的奖励，到无穷的！

打个比方，1瓶有a1几率得到b1，。。。。卖价a，成本b。

令 p=a1*b1+。。。。an*bn+。。。。

等比数列：  b, p,p^2/b,p^3/b^2

买家平均实际所得=b+p+p^2/b+p^3/b^2+。。。。。=b^2/（b-p）  （这个是求了极限的值，地球人都知道p/b一定小于1，否则厂商要赔本！）

最后：

a>b^2/（b-p）

p<b-b^2/a

这样就可以分别确定：1瓶有a1几率得到b1，。。。。

荒原

b+p+p^2/b+........

这个式子结果是正确的，但推导起来还是很费周折，虽然直觉上猜的结论和实际结果吻合


如果1瓶得0，1，2，...瓶奖励（不包括奖励的奖励，简称1代奖励）的概率分别是p0,p1,...

记概率生成函数
p0+p1*x+p2*x^2+...
为g(x)

因为z=z1+z2+...+zn的概率生成函数是h^n(x),假定随机变量zi的概率生成函数是h(x),而且各自间独立

所以二代的概率生成函数是
p0+p1*g(x)+p2*g^2(x)+...=g(g(x))

显然，1代的数学期望是g(x)在x=1处的导数值，也即g'(x)|(x=1)=g'(1)，下面求2代的数学期望，也就是复合函数g(g(x))在x=1处的导数值，根据复合函数的微分法则，有：

g(g(x))'|x=1
=g'(g(1))*g'(1)
=g'(1)*g'(1)
=g'^2(1)

也即2代的数学期望是1代的数学期望的平方，设1代b1的数学期望是k,用上面的方法，n代bn的数学期望是k^n

所以玩家买了1瓶，完全开奖后总共获得的瓶数(b=b0+b1+b2+...)的数学期望是(设k<1)
1+k+k^2+...+k^n+...
=1/(1-k)

同理可以算得bn的方差，但b的方差我一直没有办法算出来，因为b1,b2,....之间不是独立的

我不是马甲

LZ,你太强大了，导数都出来了！

荒原

ls的，这个问题用导数是最简捷的方法

用初等方法求2代的数学期望对恒等式变形技巧要求很高，而如果用初等方法求2代总数的方差，那就更需要神级的处理能力，我估计是做不出来的。。。但用生成函数的方法就很简单直接了

我不是马甲

LZ大哥，你的“再来一瓶”问题，古人也有类似的促销方式吧，古人也用导数？？？！！！！

一个等比数列求和，还搬出了导数，大哥，你真的是太。。。。。。。。

问题不要复杂化，简单最好！

确定各个奖励概率，很多时候，就是控制者随便给出，只要满足

a1*b1+a2*b2.。。。<b-b^2/a

其实，bn的种类，在实际生活中，是很有限的，不可能像数学理论上的无穷性！

超过10种，控制者就要头昏了！

商店不是有卖2送1，一般不会再有买3送2了，就算有，那买4四送几，没得送了！

又专牛角尖了！