为何多种族/职业的平衡很难做？一点不成熟的思考

荒原

写的偏模型化，非常现实的人可以不用看了。

在rts或者arpg里，也包括眼下林林总总的rpg网游里，往往有很多的职业/种族，调整他们的能力，使得其pvp或者其他能力持平是设计师考虑的问题之一

但往往事实不尽如人意，弄出星际3种族完美平衡奇迹的游戏几乎没有。我想有个模型能很容易说明原因之所在

假如有n个种族，对于每个种族，设计师可以调整其m个属性的数值。如果要做到n个种族两两间pvp能力持平，一共会有C(n,2)=n*(n-1)/2个方程，总的变量是n*m,要想使得所有的方程成立，显然未知数的数量不低于方程的数量，因此就有

n*m>=n*(n-1)/2

m>=(n-1)/2

如果取等号，那么这个方程组很可能只有1个解，或者解是0维流形，总之设计师很难找到，也不排除无解这种类型

而同时调整n*(n-1)/2个变量确实很复杂，当n=8时，就已经是28了，而有些rts里，种族数量远大于8，在rpg里，职业数量达到8以上的也很多

需要同时调整这么多变量，它们还必须是对平衡性影响密切的变量，那些无关紧要的变量的调整不足以影响整体能力。在n=8时，如果能够调整的变量总数目小于28时，无论怎么调整，都是按下葫芦漂起了瓢，会形成克制关系或者某个/些职业特别强势。不成功的调整会形成常见的“一个补丁一个神”现象，不断调整不意味着就一定更接近平衡，如果方法不对头的话

如果是2v2的完美pvp平衡，那么不等式就是
m>=(n+1)*(n^2+n-2)/8

当n=10时，m>=148.5,也就是每个职业的可调整变量要不低于149个，这是mission impossible

当然，当可调整变量个数不够多时，即使不能完全平衡，也可以调整使其最接近平衡，用向量函数表达式表示就是：不要求f(x)为0，但是希望f(x)*f(x)^T最小化，这里f(x)的每一个分量都是一个平衡性方程，如果平衡的话，值为0，假定x为p维变量，f(x)为q维变量，f是R^p到R^q的映射，f(x)^T是f的转置。有个好消息就是在数值数学里，关于这类问题（非线性最小二乘问题），已经有较好的数值解法，比如structured quasi-Newton method，这类方法其实实现起来并不难，我在excel里都实现了，只要知道x和f(x)的初始值，然后就能知道下一步调整的x的值，测试出此时的f(x)值，就能算出再下一步的x值..直到x的变化不大或者f(x)已经很小了.或许这种方法能让我们有一定依据的更快找到职业/兵种属性的平衡点.非线性最小二乘问题的数值方法研究依然是前沿问题，最近几年还有新的方法问世，比如迭代时，不仅仅考虑前两步的信息，而是考虑前m（一个常数）步的信息，这种改进型方法对于存在误差型的数据效果更好，稳健性更强，而且可以测试更少的f值，得到更精确的解

作为一个实际问题，如果有一定的随机因素干扰，比如设计师设计时的误差，那么出现某个职业克制大多数其他职业的可能性大不大？如何分析？

小石子

排列，组合都上来了。是够模型化的了。。。。。

荒原

顺便问一下，求解多元方程组的数值解法有哪些？我就只知道newton法，但这无法用到游戏数值调整里，因为不知道梯度函数，有没有类似于一元情形时各种其他方法？

f16block60

有几个疑问：
1.“要想使得所有的方程成立，显然未知数的数量不低于方程的数量”，这个没想明白
2.感觉rts和mmorpg差别还是蛮大的

荒原

f16block60: Re:为何多种族/职业的平衡很难做？一点不成熟的思考

有几个疑问：
1.“要想使得所有的方程成立，显然未知数的数量不低于方程的数量”，这个没想明白
2.感觉rts和mmorpg差别还是蛮大的

1，初中的时候，学习解多元一次方程组的时候，会发现，有3个方程，一般需要x,y,z这3个未知数。总之，n个方程需要n个未知数，未知数更多，解会不确定，未知数更少，就没有解

但这个结论是针对非退化类型而言，如果是线性系统，是指系数矩阵满秩这种常见类型

多元方程组本质是个逆映射问题，逆映射或者隐函数定理都说明了相关问题

2，在兵种/职业的区别和pvp平衡方面，上面的模型都适用

苍穹风

“如果是2v2的完美pvp平衡，那么不等式就是
m>=(n^2-n-2)/4”
楼主能否详加解释？ [em24]

荒原

回 苍穹风：

很抱歉，我算错了，应该这样算：

2v2时，两人组合如果包括同种族组合，共有n*(n+1)/2个，所有的平衡性方程就有n*(n+1)/2*((n*(n+1)/2)-1)/2个，由不等式：

n*m>=n*(n+1)/2*((n*(n+1)/2)-1)/2
因此
m>=(n+1)*(n^2+n-2)/8

比如当n=10时，m>=148.5

谢谢提醒，我在主楼上已经更正

小石子

细看了下，还是没怎么明白，你能把你讨论的大前提给解释下吗？N*M从何而来，N个职业，每个职业M个属性，为什么变量就是N*M呢，难道每个职业的这M个属性都不同吗？C(N,2)到是很好理解，但是那个不等式又是什么意义呢？“显然未知数的数量不低于方程的数量”，这个是什么意思呢？而且最关键的是，你这个讨论的是什么，是怎么去设置职业间平衡吗？

荒原

回ls:

"*M从何而来，N个职业，每个职业M个属性，为什么变量就是N*M呢，难道每个职业的这M个属性都不同吗？"
虽然甲职业是x点生命值，乙职业是y点生命值，虽然都是生命值，但要被看成不同的变量，所以是N*M个变量，可以说这M个属性都不同，这M个属性不仅仅是说生命值，伤害能力等常见变量，也包括移动速度，某个强力技能的法力消耗量等变量

我的这些推理不能直接用来平衡PVP能力，所以说不定就浪费了大家的时间，不过数值求解多元非线性方程组已经有几个成熟算法，说不定使用得当也能起点作用，比如著名的Broyden算法，可以用迭代方法逼近零点，具体细节可以去找找数值数学相关论文和书籍，反正三言两语解释不清楚。而且这些算法我也是最近两天才去搜索相关论文，了解了一点点而已，以前我对此一无所知

galaxys

所以说，你就这么讨厌相互克制？非得要任何职业对任何职业的胜率都是五五开？我觉得这要求本身是有问题的，这样会把一些玩点都给干掉的，失去平衡的本意了。

不过如果是RTS，貌似确实是各个种族之间的胜率最好是五五开。