关于一个数列及变种的求和公式

bineye

ObjectDesign 发表于 2013-10-21 12:10
①初始金币及金币的总获得各是多少？
答：初始金币是10，刚好建造第一个a建筑
②取整规则是什么？即取几 ...

还有两个细节的问题：
①我是不是可以理解为a建筑的金币产量就是唯一的金币获得途径，且固定为0.1金币/秒？
②取整规则主要是针对金币产量而言的：“四舍五入，不保留小数”，是指“0.1金币/秒”实际就是“1金币/10秒”咯？还是说计算采用小数，而显示采用整数？此时计算消耗时，数值是取显示的整数，还是取实际的小数？

如果按上述①这么设定的话，可以将原题分两个部分：产出函数、消耗数列，然后再计算时间。
假设时间为t，单位为秒。

产出数列：（根据②的不同设定分情况计算）
情况一：f(t)=[t/10]向下取整，——取整规则为：“1金币/10秒”；
情况二：f(t)=[t/10]四舍五入，——取整规则为：采用小数进行计算，而显示采用整数；数值取显示的整数为准；
情况二：f(t)=t/10，——取整规则为：采用小数进行计算，而显示采用整数；数值为实际值为准；

消耗数列：
g(n)=[10+10*1.1+10*1.1^2+…+10*1.1^(n-1)]四舍五入=[100*1.1^n-100]四舍五入，即等比数列的求和公式。

n个建筑的耗时：
f(t)+10=g(n)，
解得：
情况一：t=(g(n)-10)*10。
情况二：t=(g(n)-10)*10-5。
情况三：t=(g(n)-10)*10。


还是题外问题：
如果金币总产量与建筑个数无关，那么“求出建造n个a建筑所消耗的最短时间总和”的意义何在？或者说，建1个a建筑与建n个a建筑的差别是什么？
如果没有差别，那么我的观点是：不如改成更简单明了的设定，“a建筑不生产金币，造a建筑消耗的金币数随着建造个数递增，……”，即将a建筑与生产金币功能剥离，另外设定一个金币产量的渠道。


还有，我猜测原先的意图应该是“每个a建筑每秒生产0.1金币”，对吧？
即总产量为a建筑的个数n*单位建筑金币产量。

如果是这种设定，消耗数列同上：g(n)=[100*1.1^n-100]四舍五入，
产出数列就需要对n进行积分（或者累加），这就需要先确定②的设定是如何，否则计算量很大。



针对最后“最短时间即为建造的最优策略”，这点是有点错误的。剩余积累的金币量为x的最短时间，与最优策略是有所差别的。这是因为消耗x金币用于购买某个物品，而非用于建造生产建筑，势必会影响以后的发展进度。
当然，如果你的设定是“a建筑金币产量固定为0.1金币/秒”这种设定，那就不存在这个问题。
可是，对于多种生产建筑而言，如果x值较小，即与b建筑、c建筑所需消耗的总和相比没有特别大的差别，那也会存在上面所提到的问题，即最短时间与最优策略是有所差别的。
除非所需要购买的东西的价值很大，甚至大到拿以后的发展进度跟其交换都是值得的。那这种情况下，最短时间可以视为最优方案。而这最短时间，自然也与x的具体取值有关。如果该物品的价值并非值得拿以后的发展进度与之交换，那计算这个最短时间，就不应该是策划该考虑的问题了。

ObjectDesign

bineye 发表于 2013-10-21 15:29
还有两个细节的问题：
①我是不是可以理解为a建筑的金币产量就是唯一的金币获得途径，且固定为0.1金币/秒 ...

说实话，看了一下这位兄弟的解题过程，没看明白，可能我简化为数学模型的表达方式不太好吧，致使产生了很多歧义，我所说的这个模型来自于一个小游戏《无尽的饼干》，从而想到的一个问题“达到某个数量级的饼干所需最短时间的最优建筑策略”，不知道这个问题的本身是否存在解决方案？
附《无尽的饼干》游戏网址：http://orteil.dashnet.org/cookieclicker/

ObjectDesign

bineye 发表于 2013-10-21 15:29
还有两个细节的问题：
①我是不是可以理解为a建筑的金币产量就是唯一的金币获得途径，且固定为0.1金币/秒 ...

说实话，看了这位兄弟的解答首先非常感谢，但我确实没看懂，我的这个问题是从一款小游戏《无尽的饼干》中想到的，可能因为表达问题致使有了很多歧义。其实购买某个价格为x的道具和建造某个价格为x的建筑是一样的，总结起来就是“生产金币达到x的最短时间是多少？这个最短时间是建造了哪些建筑达成的？”，可能我这个问题本身就是无解的，请各位不吝赐教。貌似插入网址链接需要审核，我就不附加《无尽的饼干》网址了，大家去“拼命玩游戏”这个网站上搜索即可。

ayasong

玩不转，只能说，不明觉厉！

bineye

ObjectDesign 发表于 2013-10-21 19:42
说实话，看了这位兄弟的解答首先非常感谢，但我确实没看懂，我的这个问题是从一款小游戏《无尽的饼干》中 ...

去看了那个游戏，
①产量跟建筑个数是有关的，正比关系。
②我猜测其取整规则为：采用小数进行计算，而显示采用整数；数值取显示的整数为准；取整方法为向下取整。不过其数值没有有效的测量工具，难验证这个猜测是否正确。

就最后一个问题，存在最优方案。可是，因为生产相关的变量有点多，且其中每个建筑的性价比也不相同，因此这个靠人工很难解，更别提要列出通项公式了。不过，如果你会使用一些数学软件的话，利用软件解这个问题就不难。（个人推荐mathematica，或matlab）

不过问题本身可能存在一点错误：最优方案不是达到x的最短时间，而是一定时间内x的最大值。这两者在有些情况下是等价的，但有些情况——比如本题中——两者并不等价。而本题的最终目的，应该是比较生产的最大值及剩余累积值，而不是达到某个值的最短时间吧~~

《无尽的饼干》有比较明显的两条生产相关线：一条是生产工具线，一条是科技线。这两条线的收益是可以乘法叠加的。另外，科技线自身似乎也能分成两条可以乘法叠加的子科技线。因此，在这种情况下去计算某一项的最短时间，意义就不是很大。
此时，所谓的最优方案应该是去升级“当前收益最大”的一项，即性价比最高的一项。当然，这个结果也不是最终结果，因为还需要对其进行修正。修正项即是高收益，但是成本也极高，因而在短期内无法实现的项。不过，就《无尽的饼干》 看来，暂时还没出现这种修正项。

ObjectDesign

bineye 发表于 2013-10-22 09:35
去看了那个游戏，
①产量跟建筑个数是有关的，正比关系。
②我猜测其取整规则为：采用小数进行计算，而显 ...

非常感谢这位兄弟的解答，对我启发很大，我再用数学软件研究一下