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发表于 2007-3-7 18:45:00
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Re:4元数宝典
四元数的长处和缺点
冰川球的吉恩瓦尔。
吸收前后左右的倾斜而保持水平
长处
“直观的”
如果给出旋转轴和旋转角度的话，就算不考虑欧拉角之类的，也可以立即计算。
“连续性”
表示相似的旋转的四元数的值也相似。没有吉恩瓦尔洛克现象。
（所谓吉恩瓦尔洛克就是，“北极和南极等特殊点，在自转的情况下是不能动的。”“在中国餐馆的圆桌上，
放在正中央的酱油怎么转也转不近”等，有效的自由度和次元丧失的现象。在软件中成为例外处理的困难因而是麻烦事。本来吉恩瓦尔是把罗盘针吊起来的机构。为了使得即便船摇晃罗盘针也保持水平而不摇晃。吉恩瓦尔的柄把罗盘针晃晃荡荡地吊着，但若使得这些东西的方向一致了，就不能晃了（=洛克lock），振动传到罗盘针了。）
“记忆效率好，计算快”
旋转能够只用4个数值记述。与阿弗因变换矩阵等相比，不用记忆。减少不必要的计算。
缺点
“从外观上看不知道表示什么意思”
从四元数的成分来看，其表示什么意思，一眼看不出来。
“不能表示多圈旋转”
如你所见，使用cos和sin，所以θ是10度，370度，还是-350度，不能区别。
想要制作咕噜咕噜转许多圈的动画的情况下，不想只旋转一遍，请仔细区分。
“是以原点为中心的旋转”
想以原点以外为中心的情况，请让坐标穿上木屐，旋转，然后还原木屐。
（下文的一般位移篇也check一下吧！）
四元数旋转的软件的源代码
<<source code 贴过了>>
一般位移篇：作为旋转以外的变形的扩大缩小（与并进）的步骤
考虑四元数的标量倍，就可以将旋转篇的结果坐标给扩大缩小。比如，
P = (0; x, y, z)
（另外实部可以为任意值。0好算）
kQ = (kcos(θ/2); kα sin(θ/2), kβ sin(θ/2), kγ sin(θ/2))
kR = (kcos(θ/2); -kα sin(θ/2), -kβ sin(θ/2), -kγ sin(θ/2))
（KR是KQ的共轭四元数。）
则有，
kR P kQ = ( 0; 旋转后的XYZ坐标的k的自乘倍)
这样，就可以将以原点为中心的旋转，和以原点为中心的扩大缩小一起操作了。
这表示，可以自由地操作以原点为准的方位及其距离。就是说，将一点(X,Y,Z)映射到任意的点(X',Y',Z')的变换，可以用四元数表示。但X=Y=Z=0的情况例外。
制作你所希望的四元数篇：实施某旋转的四元数的作法
表示将一点A，移到别的点B的以原点为中心的旋转的四元数，像这样制作。
旋转轴（α，β，γ）和位置向量的外积 Ｂ×Ａ 平行且同向。（A和B的顺序，按四元数R和Q的乘法的顺序交替。本文的乘法顺序的定义的话，就是BA的顺序。）作了除法之后，将把长度改为1。
（α，β，γ）＝ (Ｂ×Ａ) / (｜Ｂ×Ａ｜)
cos(θ)是，将位置向量的内积 Ｂ·Ａ 除以｜Ｂ｜·｜Ａ｜。
cos(θ)＝ （Ｂ·Ａ） / (｜Ｂ｜·｜Ａ｜)
根据三角函数的半角公式，
cos(θ/2)＝±√{ 0.5 * (1 + cosθ) }
sin(θ/2)＝±√{ 0.5 * (1 - cosθ) }
正负号呢，由于 0°?θ?180°所以，cos(θ/2)?０ 且 sin(θ/2)?０ 就是说，两边都为正。
cos(θ/2)＝√{ 0.5 * (1 + cosθ) }
sin(θ/2)＝√{ 0.5 * (1 - cosθ) }
也要进行扩大缩小的情况、k = √{｜Ｂ｜/｜Ａ｜}
从欧拉角到四元数的变换及其逆变换的问题（背景说明篇）
这个问题时不时被谈论，由于数学原因和数学之外的事情而很难。
3次元的旋转呢，
(1) 作为旋转轴的直线
(2) 旋转角度
有这两个信息，就可以表示。这便是“万能的3次元旋转表示”。
把这样的单次的旋转叫做single rotation。
（注意：single rotation 没有旋转中心点。只有旋转轴。如果是，关于像球形关节这样的旋转的，拥有不同旋转轴的single rotation 复合而成的 rotation sequence ，的话，就能够考虑旋转中心点了。）
（*译注：此句的复句结构复杂，但无论怎么理解都不影响意思！）
（注意：四元数将single ratation以旋转轴和旋转角度的信息来直接地表示。
欧拉角呢，是要把一个single rotation，用分解为3个single rotation的方式来表示。可以说故意搞复杂了。而且，蕴含着引起吉恩瓦尔洛克的问题的可能性。）
“欧拉角-->四元数”
考虑像这样的直接的变换是非常难的问题。
正确的是，应该取，
像“欧拉角-->万能表示-->四元数”
这样的，
“一种表式形式-->万能表示-->别的表示形式”
的路径。我想这最安全也易思考。
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