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发表于 2007-4-25 18:07:00
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Re:4元数宝典
陀螺为什么不容易倒？
我们不妨观察陀螺的运动的瞬间。陀螺的高速自转与，芯棒倒下的旋转，分别是single rotation。所以，可以说，就算看起来存在2个旋转，只要合成起来，陀螺只不过做了一个single rotation。自转轴云者，微妙地以斜轴作为真正的旋转轴，陀螺以其轴作为中心高速旋转着，就是这么一回事。
这个被合成的single rotation的旋转轴，在机械性的拘束的情况下，必须通过陀螺的接地点。但是这样的话，旋转把陀螺的重心移开了。
由于旋转的重心移开了，陀螺的芯棒会改变方向。由于这个方向转换，从而防止了芯棒直接冲击地面。
是single rotation吗？相似的例子
首先，准备地球仪，使其自转。以这种状态，把地轴以一定的速度向着一定的方向旋转看看。
这时，自转是single rotation。还有，地轴的旋转也是single rotation。但是，地球仪的各点，不是single rotation，是复杂的运动。
只看一瞬间，地球仪在做single rotation。但是，下一个瞬间，地轴的方向会变化，地球仪被强制做和方才不同的自转。所以，自转已经不是单调的single rotation的重复了。
像这样，有机械性拘束的旋转轴连续做single rotation的情况，必须注意。
四元数小知识
※ 四元数的绝对值
q = t + xi + yj + zk 的时候、|q| = √(t^2 + x^2 + y^2 + z^2)
换言之、q = (t; v) 的时候、|q| = √(t^2 + v^2)
※ 共轭四元数
把虚部的符号相反的四元数，叫做共轭四元数。
qの共役四元数をpとすると、
设q的共轭四元数为p则有，
q = t + xi + yj + zk 的时候、p = t - (xi + yj + zk)
换言之、q = (t; v) の?r、p = (t; -v)
※ 逆四元数（四元数的除法）
对某四元数做乘法，则，其积为1也就是(1;0,0,0)这样的的四元数，叫做逆四元数。
逆四元数的实际上是，把共轭四元数的各成分，除以四元数的绝对值的平方。（这是，以绝对值的计算来取平方根是，没有用的。）
想要变形操作的Undo的情况，请使用逆四元数。
另外，四元数的绝对值为零的话，逆四元数为无限大，也就是不存在。
（*译注:这里将生动地说明为什么四元数可以作旋转，还介绍了8元数）
※ 为什么能旋转的直感的说明 (Tindalos)
把q = (t; x, y, z)乘以虚数?g位i则有、
iq = (-x; t, -z, y)
像这样，虚数单位进行“(甲)由其虚轴和实轴构成的平面内的旋转，和(乙)由其他2个虚轴构成的平面的旋转”
于是，考虑适当的系数，制作 cos(什么什么)+sin(什么什么) i 这样的四元数的话，感觉就可以进行你所期望的旋转了。
但是，进行旋转(甲)则XYZ会转向实部，因而，用乘以共轭四元数的三明治战法，会把XYZ拉回虚部。
为了三明治演算，不用θ，而用θ/2来做2个半旋转是关键。
就算拉回来，旋转(乙)的作用也会留下来。（参照下文）
q = (t; x, y, z)
iq = (-x; t, -z, y)
(iq) (-i) = (t; x, -y, -z)
※ 与复数（二元数），八元数的关系
交换律“AB=BA”：复数（二元数）可以。四元数以上，制作出新的虚数单位，然后分摊。
结合律“(AB)C=A(BC)”：复数（二元数）和四元数可以。八元数以上，制作出新的虚数单位，然后分摊。
物理意义：
复数：平面（2次元）的旋转/扩大。量子力学里的波函数。控制工学（时间函数和传达函数的拉普拉斯变换表示。固有频率的filter的设计）牛顿流体的变形（翼的设计）。
四元数：3次元的旋转的旋量(spinor)表示。3次元向量的外积与关系。电磁学（弗莱明法则）。丁二烯的分子轨道的固有函数（修凯尔法）。四肢动作的控制。
四元数：3次元的旋转的旋量(spinor)表示。7次元向量的外积与关系。
4次元的旋转的话，旋转左手用手套就可以带在右手上。写在维特根斯坦的《论理哲学论考》中。
比如，考虑如下的4次元的手套。它是左手用的。手脖子的部分是时刻 t=0 。随着向指尖前进 t 增加，设在指尖末端 t=10 。把这作为电影的话就是，把手脖子套上橡皮筋，把它向指尖移动的这么一种场景。
然而，在各时刻把橡皮筋翻过来，可以形成镜像。这就是被戴在右手上的样子。用所有的时刻这就是可能的。
所以，左手用的4次元的手套，通过4次元旋转，可以也戴在右手上。
※ 发明余话
四元数是哈密尔顿（W.R.Hamilton）于1858年，于散步中发明（发现）的。四元数似乎是一见空想的产物，是司外积和旋转的概念装置，可以说是近代的线性代数学的出发点。
本来以前四元数是没有工业用途的，但是作为宇宙船的姿势控制的数学工具开始被使用了，便在世间推广开来了。
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