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就是把4d空间的图形投影到3d中观察。
完整源代码 http://upload.gameres.com/20107/sf_1603621_1843.zip
首先我们要建立一个4D的“超立方体”。
我们先看一下3D立方体的顶点定义。
先看我们熟悉的d3d左手坐标系，
沿着Z轴正方向是前方。
3D立方体中，(设棱长==2a)
各个（共8个）顶点坐标为：
1 {-a, a, a }
2 { a, a, a }
3 { a, -a, a }
4 {-a, -a, a }
5 {-a, a, -a }
6 { a, a, -a }
7 { a, -a, -a }
8 {-a, -a, -a }
有什么规律呢？。。。。。。
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先打断一下，我有必要说明一下3维坐标，4维坐标的问题。非澄清不可！
在3维空间中，普通的坐标是我们熟知的3维坐标，比如,点A(x1,y1,z1).点B(x2,y2,z2)
d3d中为了更好的变换，引进了4维齐次坐标的。（具体原因在此就不说了）
但是，到底什么是4维齐次坐标？
一个4维齐次坐标，由4个数字组成，比如 点P(x,y,z, w )。
虽然有“4维”，但是，它所表示的，却只不过是3维空间中的一个点。
反过来，一个3维空间的点，用齐次坐标表示，需要4个数。
d3d在绘制的时候，最终，要把4维齐次坐标转换成3维齐次坐标。
具体的转换方式很简单，如果点P的4维齐次坐标是(x,y,z,w),
那么，点P的3维普通坐标是(x/w, y/w, z/w).
反过来，把一个点的3维普通坐标转换成4维齐次坐标，由无数种结果，
不过一般，我们把w设为1。比如点Q(x0,y0,z0),则4维齐次坐标为(x0,y0,z0,1)
当然，比如说设为(2x0,2y0,2z0,2)等等也可以。
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在4维空间中，有4个方向，一个点的普通坐标，需要用4个数来表示，
比如，点M(x,y,z,u).这叫做4维普通坐标，表示4维空间的点。
习惯上用u来表示第4维。(u应该是ultra“超，超级”的首字母)
4维的点，类似地，也有齐次坐标。4维点的齐次坐标，显然，需要5个数字。
比如，点N(x,y,z,u, w ).那么，点N的普通坐标就是(x/w, y/w, z/w, u/w).
注意，很多朋友包括在回帖的时候，混淆4维齐次坐标和4维普通坐标！
4维齐次坐标表示3维空间的点。
4维普通坐标表示4维空间的点。
***这样说会比较好理解一点***
一个平面上的点，用普通坐标表示，需要2个数字；用齐次坐标表示，需要3个数字;
一个3D空间的点，用普通坐标表示，需要3个数字；用齐次坐标表示，需要4个数字;
一个4D空间的点，用普通坐标表示，需要4个数字；用齐次坐标表示，需要5个数字.
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另外说一下数据类型和变量名的问题，在我的4D引擎中，有4中向量(点，坐标)类型：
这些typedef都是大写，但为了大家能看得清楚一些，我用大小写交替！
i3DxVec3---3维普通坐标。i3DxVec4---4维齐次坐标。
它们都表示3维空间中的点或向量。
typedef union
{
struct{
float x,y,z;
};
struct{
float x1,x2,x3;
};
}I3DXVEC3;
i3DxVec3的成员，可以这样用：x,y,z; 也可以这样用x1,x2,x3.
i3DxVec4的成员，可以这样用：x,y,z,w; 也可以是 x1,x2,x3,x4.
................................................................................
i4DxVec4---4维普通坐标。i4DxVec5---5维齐次坐标。
它们都表示4维空间中的点或向量。
i4DxVec4可以这样用：x,y,z,u; 也可以：x1,x2,x3,x4.
i4DxVec5可以这样用：x,y,z,u,w; 也可以：x1,x2,x3,x4,x5.看你喜好了~
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***@齐次坐标一般在引擎内部使用，我们研究几何，或定义顶点数据时，都用普通坐标@***
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继续上面的立方体的话题。
想象有一个4维“超立方体”，棱长==2a, 你怎么写出它的顶点？有几个顶点？
我们很容易发现，3维立方体的各顶点坐标，实际上就是a和-a的排列组合！
类似，在4维空间中，运用排列组合，可以写出各个顶点坐标，排列数就是顶点数目：
列举这些顶点，有许多方式，我们并不是在学习排列组合课程，就不多说了。
方便起见，我这样排列，用Ctrl+C/Ctrl+V把刚才的3维立方体坐标粘贴过来：
1{-a, a, a }
2{ a, a, a }
3{ a, -a, a }
4{-a, -a, a }
5{-a, a, -a }
6{ a, a, -a }
7{ a, -a, -a }
8{-a, -a, -a }
然后，在x,y,z坐标的基础上，加上一维（u坐标）：
1{-a, a, a, a}
2{ a, a, a, a}
3{ a, -a, a, a}
4{-a, -a, a, a}
5{-a, a, -a, a}
6{ a, a, -a, a}
7{ a, -a, -a, a}
8{-a, -a, -a, a}
但是，这当然还没有列举完所有顶点。
Ctrl+C/Ctrl+V，再把最后一维坐标改一下，
1{-a, a, a, -a}
2{ a, a, a, -a}
3{ a, -a, a, -a}
4{-a, -a, a, -a}
5{-a, a, -a, -a}
6{ a, a, -a, -a}
7{ a, -a, -a, -a}
8{-a, -a, -a, -a}
这样得到了2*8==16个顶点的坐标，这就是4维超立方体的顶点坐标。
然后，为了追求完美，还要做一个小的修饰，把顶点编号改一下：
1_1 {-a, a, a, a}
1_2 { a, a, a, a}
1_3 { a, -a, a, a}
1_4 {-a, -a, a, a}
1_5 {-a, a, -a, a}
1_6 { a, a, -a, a}
1_7 { a, -a, -a, a}
1_8 {-a, -a, -a, a}
2_1 {-a, a, a, -a}
2_2 { a, a, a, -a}
2_3 { a, -a, a, -a}
2_4 {-a, -a, a, -a}
2_5 {-a, a, -a, -a}
2_6 { a, a, -a, -a}
2_7 { a, -a, -a, -a}
2_8 {-a, -a, -a, -a}
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现在，顶点有了，很简单，但关键是，一个4维超立方体，它的各个顶点之间是怎么连接的？
***我将从两个角度来帮助大家理解，首先是第一个角度***
我们不妨先看看3维立方体中，顶点的连接情况，我把3d立方体的顶点数据再拷贝一份：
1{-a, a, a }
2{ a, a, a }
3{ a, -a, a }
4{-a, -a, a }
5{-a, a, -a }
6{ a, a, -a }
7{ a, -a, -a }
8{-a, -a, -a }
我重新画了图，对于立方体的一些棱，使用了不同的颜色。
顶点之间的连接是：
1~2 , 2~3 , 3~4 , 4~1
实际上，以上的1-4顶点，组成了立方体的"前面"（它们的最后一维z坐标== +a）
5~6 , 6~7 , 7~8 , 8~1
实际上，以上的5-8顶点，组成了立方体的"后面"（它们的最后一维z坐标== -a）
然后，前面和后面，对应顶点，相连在一起：
1~5
2~6
3~7
4~8
这样，就构成了立方体。
上面写的太散了，我们整理整理：
1~2 , 2~3 , 3~4 , 4~1
5~6 , 6~7 , 7~8 , 8~1
1~5 , 2~6 , 3~7 , 4~8
................................................................................
类似地,推广到4维超立方体中，
顶点1_1 到 1_8 的最后一维u坐标== +a.我又拷贝了一份：
1_1 {-a, a, a, a}
1_2 { a, a, a, a}
1_3 { a, -a, a, a}
1_4 {-a, -a, a, a}
1_5 {-a, a, -a, a}
1_6 { a, a, -a, a}
1_7 { a, -a, -a, a}
1_8 {-a, -a, -a, a}
它们的最后一维u坐标相同，（在同一个3维超平面中），组成了一个3维立方体，
顶点的连接情况自然就是：
1_1 ~ 1_2 , 1_2 ~ 1_3 , 1_3 ~ 1_4 , 1_4 ~ 1_1
1_5 ~ 1_6 , 1_6 ~ 1_7 , 1_7 ~ 1_8 , 1_8 ~ 1_1
1_1 ~ 1_5 , 1_2 ~ 1_6 , 1_3 ~ 1_7 , 1_4 ~ 1_8
顶点2_1 到 2_8 的最后一维u坐标== -a。
它们也组成了3维立方体，顶点连接情况显然是：
2_1 ~ 2_2 , 2_2 ~ 2_3 , 2_3 ~ 2_4 , 2_4 ~ 2_1
2_5 ~ 2_6 , 2_6 ~ 2_7 , 2_7 ~ 2_8 , 2_8 ~ 2_1
2_1 ~ 2_5 , 2_2 ~ 2_6 , 2_3 ~ 2_7 , 2_4 ~ 2_8
（本文中复制粘贴比较多^ ^ 希望大家找到规律）
然后，在这个4维超立方体的顶点中，
u==+a 和 u==-a 的两个3维立方体之间的对应顶点，相互连接即可。也就是：
（这是不是类似于3维立方体前后两个面的对应顶点连接呢？）
1_1 ~ 2_1
1_2 ~ 2_2
1_3 ~ 2_3
1_4 ~ 2_3
1_5 ~ 2_8
1_6 ~ 2_8
1_7 ~ 2_8
1_8 ~ 2_8
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如果您觉得以上内容还是有些抽象，那么，----
***我们再从另一个角度理解各个顶点之间的连接***
注意：各个顶点的坐标我们早就求出来了，我们现在只需要关心顶点之间的连接！
我们想象用橡皮筋制作一个3维立方体，并为各个顶点标号，观察各个顶点连接情况，
然后把立方体压扁，平放到一张纸上，成为一个2维图形，再来观察各个顶点连接情况，
傻瓜也知道，各个顶点的连接情况，没有发生任何改变。
（说的故弄玄虚一点，这是图形的拓扑不变性，变化前后的两个图形是“同胚”的）。
把一个橡皮筋做的4维立方体压扁到一张白纸上，那么，
各个顶点之间的连接情况也不会改变！
换言之，我们可以在一张大白纸上（2D平面），研究4维立方体的顶点连接情况。
..............................................................................
我们看看2维正方形的顶点连接情况。
可以归纳为：用橡皮筋先构建两条边，平铺在纸上，再把两条边的对应顶点连接。
然后看看3维立方体的顶点连接情况。
可以归纳为：用橡皮筋先构建两个正方形，平铺在纸上，再把它们对应顶点连接。
我们可以类推出，4维超立方体的顶点连接。
可以归纳为：用橡皮筋先构建两个立方体，平铺在纸上，再把它们对应顶点连接。
..............................................................................
我们甚至可以推导出5维超立方体的顶点连接。
就是用橡皮筋先构建两个4维超立方体，平铺在纸上，再把它们的对应顶点连接。
6维超立方体就免了^ ^
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我们现在直观地理解了高维超立方体,那么,实际上,我们还可以为5维超立方体定义顶点，
大家可以先自己做一下,以加深对高维超立方体的理解.
1_0 {-a, a, a, a, a}
1_1 { a, a, a, a, a}
1_2 { a, -a, a, a, a}
1_3 {-a, -a, a, a, a}
1_4 {-a, a, -a, a, a}
1_5 { a, a, -a, a, a}
1_6 { a, -a, -a, a, a}
1_7 {-a, -a, -a, a, a}
1_8 {-a, a, a, -a, a}
1_9 { a, a, a, -a, a}
1_A { a, -a, a, -a, a}
1_B {-a, -a, a, -a, a}
1_C {-a, a, -a, -a, a}
1_D { a, a, -a, -a, a}
1_E { a, -a, -a, -a, a}
1_F {-a, -a, -a, -a, a}
2_0 {-a, a, a, a, -a}
2_1 { a, a, a, a, -a}
2_2 { a, -a, a, a, -a}
2_3 {-a, -a, a, a, -a}
2_4 {-a, a, -a, a, -a}
2_5 { a, a, -a, a, -a}
2_6 { a, -a, -a, a, -a}
2_7 {-a, -a, -a, a, -a}
2_8 {-a, a, a, -a, -a}
2_9 { a, a, a, -a, -a}
2_A { a, -a, a, -a, -a}
2_B {-a, -a, a, -a, -a}
2_C {-a, a, -a, -a, -a}
2_D { a, a, -a, -a, -a}
2_E { a, -a, -a, -a, -a}
2_F {-a, -a, -a, -a, -a}
至于这32个定点之间的连接，就免了，写在这里太浪费harddisk.也可以编程完成.
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超立方体建立完毕后，我们就需要在4D空间中观察它。
4维世界顶点变换处理的流程是：（使用CI4D::SetTransform）
4维世界变换 --> 4维观察变换 --> 4维投影变换 >>> 3维空间（3D输出）
然后，在3维投影空间中，进行3D输出变换：（使用CI4D::Set3DOutputTransform）
3维投影空间 --> 3维观察变换 --> 3维投影变换 >>> 视口缩放 >>> 计算机屏幕
先对3维变换做个说明:
我使用Direct3D做3D输出。
3维观察变换（摄影机变换）之后，顶点到了摄影机空间中，然后再做投影变换：
从摄影机空间中，朝着前方（Z 轴正方向）取一个“观察平截头体”，
然后，把观察平截头体缩放到投影空间中的一个半立方体中（图7右边）,
这个半立方体的的范围是，x,y坐标范围从-1 ~ +1；z坐标范围从0 ~ +1。
不过摄影机空间中观察平截头体之外的顶点，也跟着一起变换到了投影空间里，
这些额外的顶点，在那个半立方体之外，所以需要“剪裁”掉。这个工作由3D引擎完成。
然后，3维工作到此结束，接下来，变换最终的z坐标值和(x,y)坐标值，被分开处理：
z坐标，被用于排序;
另一方面，(x,y)坐标（范围在-1 ~ +1）经过视口缩放（乘以窗口的长宽），
变成屏幕坐标，然后绘制到屏幕上。
这样就完成了到2维屏幕的投影。
投影结束后，x,y坐标的范围，是窗口的坐标范围。
***注意：我没有提供3维的世界变换，因为没有必要***
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然后我们对4维变换做个说明：
4维世界变换和4维观察变换之后，顶点到了摄影机空间中，然后再做投影变换：
从摄影机空间中，朝着前方（U 轴正方向!!）取一个“4维观察平截头体”，
然后，把观察平截头体缩放到投影空间中的一个“半超立方体”中,
这个半超立方体的的范围是，x,y,z坐标范围从-1 ~ +1；u坐标范围从0 ~ +1。
不过摄影机空间中观察平截头体之外的顶点，也跟着一起变换到了投影空间里，
这些额外的顶点，在那个半立方体之外，所以需要“剪裁”掉。这个工作，
暂时I4D引擎还没有实现。所以，你心里要有个数，不要让摄影机靠物体太近!
这样的话，比如说，“拍摄”一个4维超立方体，离远一点，就完全没有任何问题了。
因为我迫切要研究4维世界，我等不及，所以，先凑合着用吧^ ^。
然后呢，我没有3D引擎中的“视口缩放”这一步，没必要，所以，
按照最终的x,y,z坐标，填写ID3DVertexBuffer9就可以了。
由于不需要排序（具体原因以后再说），所以第四维u坐标，就没有任何用处了。
这样就完成了到3维世界的投影。
注意（我不需要3D引擎中的“视口缩放”这一步），投影结束后，x,y,z坐标的范围，
是 -1 到 +1。
然后，要设置3D输出变换。
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4维观察平截头体是什么样子的？
3维观察平截头体，可以看成是一个变形的立方体，不是吗？
（立体几何上叫做“4棱锥台”）
变形的立方体，和标准的立方体，各个顶点之间的连接情况是相同的。和图5一样。
（即拓扑结构相同，专业地说，它们是“同胚”的）
那么类似，4维观察平截头体，可以看成是一个变形的4维超立方体。
它的拓扑结构的话，和图6是一样的。
假如我要做5D引擎的话，那么，5维观察平截头体的拓扑结构，大家应该可以想象吧 ^ ^
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另外，我写了一个CI3DXCamera和CI4DXCamera这两个摄影机类。
其中，CI3DXCamera，和我以前在gameres上贴过的一个CCamera类基本相同。
看一下app.cpp。
InitI4D()中，初始化了I4D对象和两个摄影机(3D摄影机和4D的)
InitDraw()中，初始化了一个4维超立方体的数据。
注意：我使用LineList（线列表）而不是3角形!
顶点建立了之后，需要锁定4维顶点缓冲区，然后用memcpy拷贝顶点：
I4DVERTEX *pVerticesT;
g_pVB1->Lock(&pVerticesT);
{
memcpy(pVerticesT,pMyVertices,NUM_VERTICES*sizeof(I4DVERTEX));
}
g_pVB1->Unlock();
FrameMove()中，进行4维变换（我没做世界变换），然后做3D输出的变换。
OnKeyDown(WORD KeyCode)中，处理了键盘操作。使用键盘控制摄影机。
我的键盘定义：
3维空间中的前后左右上下平移按键：（沿着摄影机自己的x,y,z轴移动!）
const WORD k3_fore='W', k3_back= 'S', k3_left= 'A', k3_right= 'D', k3_up='Q', k3_down='Z';
3维空间中的旋转按键（围绕世界坐标y和z轴来旋转摄影机!）
const WORD k3r_up= 'F', k3r_down='C', k3r_left='X', k3r_right='V';
4维空间中的4个方向上的平移按键：（沿着摄影机自己的x,y,z轴移动!）
const WORD k4_fore='Y', k4_back= 'H', k4_left= 'G', k4_right= 'J', k4_up= 'T',k4_down='B',k4_up2='U', k4_down2='N';
4维空间中的旋转按键：（围绕世界坐标的某平面旋转!）
const WORD k4r_xy1='I', k4r_xz1= 'O', k4r_xu1= 'P', k4r_yz1= 219, k4r_yu1='M',k4r_zu1=190;
const WORD k4r_xy2='K', k4r_xz2= 'L', k4r_xu2= 186, k4r_yz2= 221, k4r_yu2=188,k4r_zu2=191;
(注：186=";"--219="["--221="]"--188="<"--190=">"--191="?")
需要说的是，3维空间中的旋转，是绕着某个轴进行的，而4维的旋转，需要围绕某个平面进行。
比如:
k4r_xy1 按键：控制围绕xy平面向正方向旋转；
k4r_xy2 按键：控制围绕xy平面向负方向旋转。
最后，是Render()函数：
void Render()
{
g_pi4d->Clear(I4DCOLOR_XRGB(0,0,0));
g_pi4d->BeginScene();
{
g_pi4d->DrawPrimitive(g_pVB1);
}
g_pi4d->EndScene();
/////////////////////
g_pi4d-> resent();
} |
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发表于 2007-3-1 18:30:00
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