胜率？选率？平衡性？

小篱

文/田浩

胜率？选率？竞技游戏的平衡性？

关于一个游戏平衡性问题总是有争论不完的地方，制作公司反反复复修改，玩家适应新版本苦不堪言。很多时候，制作公司会公布最近游戏内英雄的胜率，选率等等，通常情况下，一个英雄，一个策略胜率过高，就会被关注，而且很有可能削弱，但是这样的做法和调整是否正确？胜率高的英雄是否真不平衡？结合博弈和数学知识，这里简单的讨论一下。

从最简单的开始：单次对称混合博弈

先研究一个简单的单次混合博弈，首先，我们知道一个例子：石头剪子布，有三个策略，是一个双方公平的博弈，在采取相同策略时，双方平局，记为0；同样，如果甲方能赢，我们记为1，乙方能赢，我们记为-1，对阵表如下：

把这个表抽象为一个3*3矩阵 ，假设向量p=为混合博弈中三个策略的达到均衡的概率向量，那么就有
但是这个矩阵不是一个满秩矩阵，秩为2。不过由于三个决策的概率和为1，所以我们又多了一个方程，所以解出三个概率P均为1/3.

如果我们把策略集合变为更多，比如4个，结果你会马上发现，4个的情况按照上面的做法，在联立方程，会出现矛盾，因为 可以是一个满秩矩阵，解得p=0，而且如果的秩小于3，就会出现无穷解，有一个行列的策略可能属于不必要设计的策略。

我们可以推断以下结论：在一个双方公平博弈中，策略条数为奇数时，才能产生一个策略间都互有胜负的混合博弈。

推断过程如下：

当矩阵除了同等策略对抗之外，其他策略都能分出优劣胜负，即如下矩阵

设：策略之间一定可以分出胜负，相同策略为平手，表中r（i，j）均不等于0，要么为1要么为-1

由于策略概率和为1，又有方程

当n=2时，为满秩矩阵

当n=3时，秩为n-1=2

于是我们把矩阵划分一下

其中绿色部分为，红色部分为b

如果当为满秩矩阵时，说明

方程 有唯一解w

说明通过列变换，可以吧b部分全化为0

又由于这个绿色方阵有一些关于斜边轴对称的性质，当矩阵转置后，我们可以把黄色的部分通过行列变换全化为0

在进行列变换时，右下角的部分还是

说明当为满秩矩阵时，的秩和一样，均为n-1；

2如果当不为满秩矩阵时。方程 无穷解

所以存在不同的解，使得右下角变为1

所以当不为满秩矩阵时，存在一个为满秩矩阵；

依据归纳法，形如以上的矩阵，当n为偶数时，存在此种矩阵为满秩矩阵和n=2类似，当n为奇数时，矩阵秩为n-1，和n=3类似。

所以当与联立时，n为奇数时，可以达成n个未知数n个方程的情况，不然就可能会形成超限方程组，n个未知数n+1个方程，导致方程组无解，根据混合博弈中的纳什均衡，次博弈必定有解，那么假设不成立，说明有部分策略之间存在不分胜负的情况。

所以在一个尽量能分出胜负的游戏中，有效策略集总会是奇数个，余下的策略只是与其他策略有一定的同质化策略（不分胜负）。

在实际游戏设计中，我们会面对设计之初处于个人兴趣而产生非常多的策略方案，而后在玩家游戏时，会产生一大堆超出设计者预期的策略，面对茫茫多的策略方案，策略平衡无从下手？结果就是胡乱的削弱和增强？其实我们在思考上述问题时，已经可以得到一种比较基本的步骤，来调整游戏策略的平衡性。

step1.找出3个非常确定有循环互相克制的关系的策略作为基本的有效策略集合。

step2.每次向元素为2N+1的有效策略集合添加A,B两个额外策略，其中A策略克制B策略，而A策略克制以往有效策略集中N个而被N+1个克制，而B策略克制其中N+1个被N个策略克制，在统计数据验证完成后，这个新的策略集已经是比较可信的有效策略集合

step3.按照这种方案循环的两个两个添加策略，就可以扩展很多策略

但现在游戏不止像这样简单的博弈，会涉及到多次混合博弈，并且玩家采取的方案千奇百怪，并不能收集到所有测策略方案，所以还要考虑连续混合博弈的情况。

连续混合博弈

大多数游戏会进行了多次的连续博弈而这连续多次的博弈，也可以看做是一个整体的博弈空间，只是在信息披露和决策的进行中，会形成一个子博弈。

也就是说，在大局上，一个博弈策略St可以分解为多个子博弈问题Q1,Q2,Q3.....中的策略（St1，St2,St3,St4....)

假如一个连续胜负博弈分为两个阶段Q1,Q2可选策略分别为A1 A2 A3，B1 B2 B3那么组合起来就有9种策略

在第一阶段，假如策略信息披露为A3和A2,那么如图所示,博弈问题就会集中到黄色区域的子博弈问题

其实进入子博弈之后，游戏已经是有优势劣势了，那么就是要调查，在子博弈中，是否会形成形如以下的结果

其实通过看到子博弈这个例子，我们就会发现，很多非对称博弈其实就是一个连续对称博弈走到一个子博弈的局面。

那么通过这个例子我们可以发现最引人入胜的连续混合博弈，会在每一个子博弈中都会出现混合博弈的情况

所以把所有子博弈策略组合，最优对阵表应该为

这样1，-1相间的情况

如果，在连续博弈中，Q1中的策略完全已知，Q2...QN的分支策略不完全

那么在其中一个子博弈Q1中，会有以下胜率对阵关系表

至此我们可以类似的照单次博弈的平衡方案，从三个策略开始，观测两两之间对阵情况，使得概率符合预期，然后再两两添加策略并进行测试和统计，按照结果有针对的调整策略之间的两两关系

当前游戏平衡性调整中的问题

现在很多游戏会统计游戏中某英雄，某战术的选取率和胜率，实际上光有这两个数据很可能不能做出正确的调整，因为对阵情况的不均会造成仅仅有这两个数据并不能看出策略是否平衡

我们可以看到A B C3个子策略（他们可以是格斗角色，或者英雄）是平衡的，A克制B,B克制C,C克制A，输赢均是6：5，虽然有一定克制，但是受其他子博弈影响（如出装备，战略，战术）不是完全不能打

但是按照胜率和出场来看，A胜率高，B出场高，C冷门又出场低，胜率垫底，似乎是C最弱，其实只是C的出场太低而已，C出场低，B没克制对象，导致B的胜率也低于50%，虽然B的选率是最高的

所以光用胜率和选用率来判断游戏角色或策略的平衡，是失准的，要做更精确的对阵统计，才能真实反映游戏的策略平衡；根据胜率和选用率来进行粗暴的修改，很可能会堵住游戏战术，策略螺旋上升之路，造成游戏的策略深度不够


结语

以上的讨论也只是比较初步的论断，与实际应用到游戏平衡调整还有不小距离，具体到游戏里的具体设计，还需要继续研究数据统计细节，数据调整方法等方面。我想，随着大数据技术和机器学习等方面的发展，以后竞技游戏的平衡性调整，也许会有新的方式方法。

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