刚发现的一个博弈论案例，发来大家玩玩

luyushun

一老先生中奖2^n元(n足够大,大于18) ，要分给2个孩子,规定如下：
（1）由哥哥先提出分钱的方式，如果弟弟同意，那就这么分；
（2）如果弟弟不同意，50%会捐给地震灾区，由弟弟提出剩下50%的分钱方式；
（3）如果哥哥同意弟弟的方式，就分掉这剩下的50%；
(4）如果哥哥不同意，规定剩下的钱中的50%捐给灾区
(5)再次由哥哥提出方案,周而复始
　问：哥哥会提出什么样的分钱方式使其利益最大化？（分配最小单位元）
并问n为奇数或偶数有什么不同?
附带条件：两人都极聪明且见钱眼开,想多拿钱

附一些网友的解答：
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网友甲：

1. 从0开始逆推
N=0 A 0 B 0
N=1 A 1 B 1
N=2 A 2 B 2
N=3 A 5 B 3 A 2^N-(2^(N-2)+1) B 2^(N-2)+1
N=4 A 10 B 6 A 2^N-(2^(N-1)-2^(N-3)) B 2^(N-1)-2^(N-3)
N=5 A 22 B 11 A 2^N-(2^(N-1)-2^(N-2)+2^(N-4)+1) B 2^(N-1)-2^(N-2)+2^(N-4)+1
N=6 A 41 B 23 A 2^N-(2^(N-1)-2^(N-2)+2^(N-3)-2^(N-5)-1) B 2^(N-1)-2^(N-2)+2^(N-3)-2^(N-5)-1

2. 貌似一个挺复杂的数列, 要把通项公式先套出来才行
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网友乙：

最小单位是什么，1元1角还是1分？
剩下最小单位的时候如何分一半给灾区？n是奇数偶数似乎跟最小单位是元有关吧？
如果没有最小单位，这就是一个无穷博弈。
哥的a,弟得b。b=50*a/(a+b)
a=66.666 b=33.333
注：以上为%制
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网友甲再次回复

N=0 A 0 B 0
N=1 A 1 B 1
N=2 A 2 B 2
N=3 A 5 B 3
N=4 A 10 B 6
N=5 A 22 B 11
N=6 A 41 B 23
N=7 A 86 B 42
N=8 A 169 B 87

数学归纳法证明：　第N+1轮B(弟弟)的收益至少比第N轮A（弟弟）的收益多1, 才能保证方案通过． 肯定是有通项公式的，回家再想．

N为奇数和偶数时确实不太一样,
为奇数时, B的收益不到A的50%,
为偶数时, B的收益超过A的50%,
特别的N=0,1,2时AB收益相等．
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网友丙（据说是大神）

在有限轮次的情况下,无论最后一轮分配结果如何,轮次越多,结果越趋进于哥哥提出获得2/3


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网友丁

哥哥提出获得2/3为正确答案
考虑题中有一设定:分配最小单位元
2^n元 (n为偶数):哥哥(2^n -1)*2/3+1,弟弟(2^n -1)/3
2^n元 (n为奇数):哥哥(2^n +1)*2/3-1,弟弟(2^n +1)/3
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网友戊（比较有价值的参考）

我觉得没有那么复杂，只需要考虑第一次和第二次就可以了
如果第2次弟弟分50%，也就是原来的25%，弟弟最多也就能拿这些了。
所以第一次只要分弟弟25%+1，他就会同意，因为无论如何他能得到的不会比这个更多。
而如果第一次你不给弟弟25%+1，也就意味着你直接失去了50%，无论如何选择都不会利益最大化。
因为这题有资本递减，所以和海盗题是完全不同的2个概念。
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余下的就交给你们了

Qzzz

假如有3万块，哥哥提出自己拿2万。弟弟如果不同意，那就只剩1万5，这时候弟弟也本着2/3的原则，那最多也只能获得1万块，所以还不如一开始就同意。
无论是低于或高于2/3，都不会达到这种平衡，必然会导致哥哥或弟弟达不到利益最大化。
所以结果是哥哥拿2/3，弟弟拿1/3。
奇数偶数太麻烦了，不会算。

ass8213206

实际上，无论谁提出方案，当前情况都可以看成第一次
设能让对方接受的比例是a：b，
那么b/（a+b）＞0.5*a/（a+b）
即哥哥66%，弟弟33.

luyushun

1/3+2/3的铁杆支持者啊
为什么不考虑一下25%+1？

luyushun

1/3和2/3这个也是百度贴吧《博弈论》吧的吧主的答案
然而事实并非如此，且看我慢慢道来：

1/3 和2/3的结果不对，虽然它算起来的过程很能够唬人，然而事实过程并非如此“唯美化”。

先手方虽然临时掌握了分配权，然而后手方却占据着最终决定权，所以只要后手方不满意结果，资金总量就会损失当前的1/2，直至最低为0。

你可以这么理解这套博弈框架：在多次博弈的过程中双方会形成一个交替位置的情况，只要其中任意一方试图使用报复策略时，双方都不会占优最终只会将钱捐出去，所以唯有采用合作才可以达到双赢。

因此我们可以做这么一套假设：如果哥哥认为自己可以拿100%，而弟弟拿0%，那么弟弟就会毫不犹豫的做出报复策略。那么第二步的时候就算是平分，也不过是25%：25%的分配模式。

所以哥哥如果给弟弟25%+1的方案，弟弟就有可能会同意这个请求，然而弟弟依然可以用1元的损失去要挟哥哥，让第二个回合里双方各自25%收场，此时哥哥的期望损失为50%。

以上思路依次类推，大家可以将其理解成“无数个关于哥哥期望收益与付出之间的讨价还价”，并最后极有可能是以50%：50%的方案收场。

所以总体来说，双方是一个半斤八两的互相依存的关系，谁的力量都没有大过谁。
正因如此，这里不能用分配的思路去解，而是要从止损的思路上去解答。

关于这个止损思路，让我想起了恋爱里的一个博弈现象。
男方的爱欲只有女方能够满足，而女方的爱欲也只有男方能够满足（假定世界末日了，只有一男一女）。

在这场博弈过程中，谁能说是男方的权利大呢还是女方的权力大呢？只要双方一分开，就意味着损失，拖得越久越是饥渴难耐。

同理的这个博弈案例也可以套用到公司合作之中：“有一家小公司投资技术，一个天使投资人投入资本，请问这里的分红比例该如何分？”

如果是用止损的思路去解答，那么只需要计算出双方不合作各自的收益是多少（比如25W：5W），然后再计算合作之后的总收益（比如100W），那么双方该如何分成呢？

答案是：（25W+35W：35W+5W），所以作为技术股的持有者，别未开口气势就衰了3分。

Qzzz

好思路。从止损的角度考虑，确实结果就是对半分。而且这个结果更贴近现实。其实第一眼看到这题，我的反应就是：既然是哥俩当然平分啊，这有啥可算的。。。

luyushun

Qzzz 发表于 2013-10-29 14:51
好思路。从止损的角度考虑，确实结果就是对半分。而且这个结果更贴近现实。其实第一眼看到这题，我的反应就 ...

原本的出题人打算让哥哥占据先手权，认为哥哥可以压迫弟弟

善与恶

数学滚出高考~!!!!!!!!!!!!!

luyushun

善与恶 发表于 2013-10-29 15:36
数学滚出高考~!!!!!!!!!!!!!

这不是数学，这是博弈论，英语直译叫做《游戏学》

善与恶

luyushun 发表于 2013-10-29 15:46
这不是数学，这是博弈论，英语直译叫做《游戏学》

数学滚出游戏学~！！！！！！！！！！！！！