图形学与游戏开发：这些公式在游戏开发中很常用

小篱

　　文/mrSun

　　本篇内容来自于书籍《3D图形学基础：图形与游戏开发》，个人总结

　　1、数学背景与历史

　　笛卡尔数学由著名的法国哲学家、物理学家、生物学家、数学家"勒奈·笛卡尔"发明。

　　1.1 1D数学

　　1.1.1 名词解释

　　整数：

　　1，2，3，4，50，-70

　　自然数：

　　非负整数，1，2，5，100。

　　有理数：

　　一个整数除以另一个整数，可以除尽，结果为，1/2、3/4/、0.88。

　　无理数：

　　有些数无法用有理数表示，如圆周长与直径的比值，记作π(pai)。小数点后有无穷的数，除不尽的数。

　　实数：

　　有理数 + 无理数的范围，有理数可数，无理数不可数。

　　离散数学：

　　研究自然数和整数的领域。

　　连续数学：

　　研究实数的领域。

　　1.2 2D数学

　　1.2.1 简单介绍

　　二维可以理解为矩形的网格。

　　高中时我们用的一般坐标系：横轴左-x，横轴右+x，纵轴上+y，纵轴下-y

　　普通的坐标系，通过旋转变换，镜像变换，可以演化出8种坐标系，它们之间都是等价的。

　　1.3 3D数学：

　　1.3.1 2种三维坐标系

• 左手坐标系
  

　　左手坐标系：拇指指向+x，食指指向+y，中指指向+z（远离自己的方向）

• 右手坐标系
  

　　右手坐标系：拇指指向+x，食指指向+y，中指指向+z（远离自己的方向）

　　左手坐标系经过旋转变化有24种，右手一样也有24种，总共有48种坐标系

　　“左手坐标系” 与 “右手坐标系”不是等价的。

　　下文都用一般的左手坐标系

　　2、多坐标系统

• 世界坐标系
• 物体坐标系
• 惯性坐标系
• 摄像机坐标系
  

　　3、向量

　　3.1 简单概念

　　向量：

　　“速度”和“位移”是向量，有大小有方向的量叫向量，向量描述位移。

　　标量：

　　“速率”和“长度”是标量，没有方向，向量的绝对值，标量描述数量。

　　3.2 向量的2种写法

　　一般用小写字母表示一个向量，比如 v。

• 行向量：
  

　　v=[2,3] (2D)

　　v=[5,−5,7] (3D)

　　v=[1,4,8,7] (4D)

　　可以省略逗号

• 列向量：
  

　　注意：这2种写法没有优劣之分，一般情况下用“行向量”，因为书写方便

　　3.3 2D、3D、4D向量下标字母表示

　　2D:

　　v=[vx,vy]

　　3D:

　　v=[vx,vy,vz]

　　4D:

　　v=[vx,vy,vz,vw] (w是分量)

　　3.4 向量的几何意义

　　二维向量v=[2,3]可以理解为，在二维坐标系中，从原点开始，先向+x走2步，再向+y走3步到终点，连接原点与终点。

　　三维向量v=[2,4,5]可以理解为，在三维坐标系中，从原点开始，先向+x走2步，再向+y走4步，再向+z走5步，连接原点与终点。

• 向量相当于表示，位移的序列。
• 向量与点：
  

　　“点”描述位置，(2,3)是“点”，

　　“向量”描述位移，[2,3]是“向量”。

　　4、向量运算

　　4.1 零向量

　　可以理解为“没有位移”，标量零表示“没有数量”

　　4.2 向量变负

　　几何上可以理解为，向量的方向相反，2D,3D,4D坐标系的操作分别是

　　−v=−[x,y]=[−x,−y]

　　−v=−[x,y,z]=[−x,−y,−z]

　　−v=−[x,y,z,w]=[−x,−y,−z,−w]

　　4.3 求模运算

　求模运算，也就是求向量的大小，向量大小也称为“向量长度”，或“模”。比如有个向量 v，向量标量的绝对值两边加单数线，就是向量长度，记作"∥v∥"

　　公式：

　　几何意义：2D的坐标系中，可以用勾股定理解释；3D的证明很复杂，不讨论。

　　4.4 标量与向量的乘法（除法）：

　　公式：

　　乘法

　　除法

　　4.5 标准化向量

　　标准化向量一般用向量名v，加下标norm组成，记作“ ”，这个过程称为“标准化”。
公式：

　　

　　举个例子：

　　几何意义：可以从上面的例子中看出，在2D中的标准化后的向量是一个从原点出发，模为1的向量。

　　4.6 向量加减法

　　向量a与向量b相加时，可以理解为，A的终点接到B的起点，接着从A的起点指向B的终点就是两向量相加的结果；向量a与向量b在相减时，可以理解为，B的终点指向A的终点的向量就是两向量相减的结果。
（图）

　　公式：

　　注意：

　　向量加法满足交换律，向量减法不满足交换律

　　永远有a+b=b+a

　　但a−b=−(b−a)仅当a=b时，a−b=b−a

　　4.7 两点间距离公式

　　公式：

　　4.8 向量点乘

　　也称作“内积”，结果在几何中表示2个向量的“相似”程度，a点乘b，记作“ a⋅b ”，点不能省略，结果是其夹角的cos值，若结果>0，则夹角0<=θ<90；若结果=0，则夹角θ=90；若结果<0，则夹角θ>90

　　公式1：

　　公式2：

　　有用的推导：用点乘计算2个向量的夹角

　　4.9 向量投影

　　求向量vv在向量nn上的投影，能将vv分解为两个分量：v⊥和v||。他们分别垂直于和平行于n，并满足v=v⊥+v||。一般称平行分量v||为v在n上的投影。

　　4.10 向量叉乘

　　又称作“叉积”，叉乘的结果是一个向量，该向量垂直于2个叉乘向量组成的平面

　　公式1：

　　向量叉乘后向量的长度，为2向量的夹角θsin值与2向量长度的积，这个长度也是a和b向量组成平行四边形的面积

　　公式2：

　　叉乘结果向量的方向

　　在左手坐标系中，若叉乘的两向量收尾相接后是顺时针，则指向你；若叉乘的两向量收尾相接后是逆时针，则远离你；右手坐标系则相反

　　5、Vector3类型

　　关于这个类型的实现，每一种语言都有不同的实现方式，从书中看到的结果是，定义了Vector3类有自己的构造方法，并且对常用的运算符进行重载，加了一些常用方法。

　　我相信，在unity中的Vector3也有相应的操作，比如点乘操作用方法来表现，而不是去重载“*”算符。

　　这个类基本上游戏引擎都会实现。

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