[三扇门的问题]用贝叶斯定理证明换不换都一样

sjinny

首先这里有贝叶斯定理的描述：
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E5%AE%9A%E7%90%86

设有以下这些事件：
A    A门有车
B    B门有车
C    C门有车
!A   A门没有车
!B   B门没有车
!C   C门没有车

P(A)=P(B)=P(C)= 1/3
三扇门里有车的概率一开始认为都是1/3，这个应该是有共识的

P(!A|B)= B门有车时，A门里没有车的概率
既然B门有车了，那么其他门里肯定没车，所以这个条件概率为1

P(A|!B)= B门没有车时，A门里有车的概率
P(C|!B)= B门没有车时，C门里有车的概率
这两个概率正是我们要计算的，也就是当排除了一扇门时，剩下的门后有车的概率会变成什么

P(!B|A)= 1
A里有车时，B里没有车的概率为1
所以：
P(A|!B)= ( P(!B|A) * P(A) ) / P(!B)
       = ( 1 * 1/3 ) / ( 2/3 )
       = ( 1/3 ) * ( 3/2 )
       = 1/2

P(!B|C)= 1
C里有车时，B里没有车的概率为1
所以
P(C|!B)= ( P(!B|C) * P(C) ) / P(!B)
       = ( 1 * 1/3 ) / ( 2/3 )
       = ( 1/3 ) * ( 3/2 )
       = 1/2

结论：
P(A|!B)=P(C|!B)= 1/2
也就是说，在B里没有车时，A和C里有车的概率都是1/2。所以当我们得到B里没有车这一信息时，A和C里有车的概率都从1/3提升到了1/2，所以当排除了一扇门后，换不换都一样。


看了一些其他用贝叶斯定理证明2/3说的推导，发现关键的区别在于公式里不是用“某个门后有没有车”这样的事件概率去计算，而用了“主持人有没有选中某扇门”的概率，而且貌似是和“某个门后有没有车”的概率混用的，所以关键问题就是：“门后有没有车”和“主持人有没有开某扇门”这两种事件是否算在同一个样本空间之内。不过我认为至少“门后有没有车”是足以构成一个样本空间的，因为ABC三扇门后有车的事件是彼此互斥的，并且三者必有一个且仅一个一定会发生。

大家体谅一下我半夜推导发贴，千万不要看贴不回贴啊   XDDD

chenhuips2

怎么还在纠结这个问题？
这样吧，我做庄1000个盒子其中一个放个100元RMB。
你选一个，然后我干掉998个空。
1/2党敢坚持不换和我堵1000盘吗？
敢的回帖留地址，实名，周末我飞过去和你玩～

izayoi

楼主。。。在B里没有车时，A和C里有车的概率确实是提高到了1/2
就如N门问题一样，1000个门，你选1个，主持人开998个，关着的2个门里有车的概率也被提到到了1/2。。。。
这完全是2个不同的样本空间。。。
但是为什么你就是没有想明白，概率摆在那里，但是你不做出选择就毫无意义。。

shen7824

如果是N个门(N>3)，选择1个门，去掉1个错误的门，这个证明是行的通的。

前面讲过3扇门的题目是一个特例，又或者N扇门，选择1个门，再去掉N-2个门，都无法适用这个定理。

关键是第一次选中的概率是多少。N的数值越大，选择换门中大奖的概率越大。第二次在选择换还是不换的结果是中(100%)和不中（0%），而不是中（50%）和不中（50%）。

换句话说，在这个特例中，第一次选中于否的直接决定了最终的结果：第一次选中，第二次换铁定不中奖；第一次没选中，第二次换铁定中奖。或者反过来说都行。这里面不存在第一次是3选1,第二次是2选1了。

chuenqi

呵呵 书读得真多

shen7824

看到这里我想起来一个问题。

1米和2米之间到底距离多远呢？

有一种理论就认为：无穷远

因为1与2之间还有很多数字比如说0.9米,0.99米,0.999米,0.9999米,0.99999米....... 可以无限循环下去，1米与2米之间永远存在数字上的距离。

izayoi

。。芝诺悖论早以被解决，普朗克证明能量不是持续存在，0.999999…等于1这在数学上早以被证明。

izayoi

另外4楼的发贴是不是有点问题，n>3门问题，去掉一个错误的门？应该是却掉n-2个错误的门吧。
1975年就有人在《科学美国人》上发表了n门问题结果为(N-1)/[N(N-p-1)]，其中p为去掉的错误的门，结果是更换后获得奖励的概率。

sjinny

回3楼
我觉得应该是先判断概率再做出选择，而不是先做出选择再判断概率，或者说，决策分析不应以决策为根本依据，而应以问题本身为依据。

回4楼
没看明白

sjinny

其实现在的问题是，需要证明顶楼的证明过程有错，如果证明过程无法证明有错，但又认为结果有错，那就真的是悖论了。