文/汤宏建 hj.tang@outlook.com
皇室战争（CR）的核心玩法（战斗部分）既有卡牌游戏的元素，也有MOBA游戏的一些特点。因此CR的数学模型与大部分MOBA游戏或卡牌游戏的数学模型都截然不同。我们试着从核心体验的角度，尝试建立相对应的数学模型，并比较和分析了CR的数值设定。
一、引言
众所周知数值模型是为我们希望玩家拥有的游戏体验服务的。CR中的核心体验包括以下几点：
1.CR是一个快节奏竞技游戏，每一局大约3分钟。
2.CR中的策略深度比大多数卡牌游戏浅。这主要体现在一个卡组只有8张卡，并且卡牌之间的配合较少。因为CR中不难做出正确的选择，而竞技性主要体现在短时间内快速做出正确选择。
3.玩家只能选择卡牌的释放位置和时机，但是不能对它们下达任何后续命令。这使得攻击距离和速度成为了很重要的属性，同时使得放风筝成为很有效的战术。
在下文中我们会在这几条核心体验的基础之上试着回答下列问题：
•如何确定每一局玩家的出牌频率与圣水消耗？单位的HP比DPS应该是多少？
•防御塔与玩家的部队的相比，应该有什么样的强度？
•部队的属性如何确定？
•法术牌的效果如何确定？
在文章的最后我们会做一个总结与讨论。
二、出牌频率，圣水消耗与部队攻防比例
反应速度是竞技性的重要组成部分，这导致了以下两点：
1.玩家需要快速做出决定，通常在3s–10s内。因此6-20次决定/每分钟是一个合适的数值，而CR的值大约是10-20次/每分钟。将决定次数乘以卡牌平均圣水消耗就可以得到玩家每分钟的圣水产量。CR的圣水平均圣水消耗是4左右。CR的圣水平均圣水消耗是4左右。这个值比较随意的修改，只要随之调整圣水产量即可。
2.玩家部队存活时间应该较短, 例如5s–15s。显而易见，如果部队存活时间过长，那么反应速度的重要性就会随之下降。部队平均存活时间主要由HP和DPS的比例而决定。HP和DPS比例的柱状图如图1所示。
在这个基础之上，根据各个兵种的定位，如坦克、输出等，设定不同的比例即可。
图 1: HP和DPS比例的柱状图
三、防御塔和部队的强度对比
由双方优劣势大小而得到防御塔强度
CR的胜利目标只有一个，就是摧毁敌方防御塔。通常玩家需要局部兵力优势来摧毁防御塔，而优势主要由对方所犯的错误，卡牌特性而产生。
因为策略深度较浅，所以通过更合理决策而产生的优势较小。又因为防守方有更多的选择权和地理优势，更容易在圣水交换中占优，因此防御方天然占优。同时圣水上限的缘故，优势积累最多达到8-10圣水。所以在每一次推进中都很难出现较大优势，那么防御塔的强度应该较低来保证多数情况下防御塔能够被摧毁。单次进攻中进攻方玩家大约可以有5-20圣水的兵力，通常会有0-8圣水的优势。CR中玩家达到满级后，防御塔的强度大约相当于3-6圣水的兵力，意味着1次较大优势的推进或者数次微弱优势的推进就可以摧毁防御塔。
如果我们在做一个竞品，首先定出防御塔大约被几次微弱优势的推进摧毁，然后根据卡牌设定估算出能够出现的优势大小，就能得到防御塔强度估值。
玩家等级对于防御塔强度的影响
在玩家处于新手阶段时出现的错误操作明显较多，所以为了保护低等级玩家的体验，避免防御塔过于容易的被摧毁，低等级的防御塔相对于低等级的部队有更高的强度，大约相当于5-10圣水的部队。在这里我们可以得到一个简单的推论，如果做一个比CR竞技强度更低的游戏，那么防御塔强度还可以适当调低，当然玩家也会更快的感到无趣。
四、部队牌的价值估算
我们先考虑HP和DPS。
一个简单的情况，场上有两个单位对战，他们有着除了HP和DPS以外相同的属性。他们之间的战斗结果应该是一个平局，这意味着他们各自的HP和DPS的乘积应该相等。
所以我们可以把一个单位的HP和DPS的乘积看成它的强度的一个指标。
接下来我们关注不同圣水消耗对于强度的影响。
举一个例子，场上一边有1个5圣水的单位，另一边有1个2圣水的单位和1个3圣水的单位。他们有着相同的圣水消耗，但是后一种选择有更大的灵活性，并且两个单位更容易用出风筝战术。因此消耗更高圣水的单位应该有更高的基础属性来弥补策略上的弱势。这意味着(HP×DPS)/圣水消耗的值会随着圣水消耗的增加而增加。
CR中的做法是将3圣水及以下的单位定位为防守性和功能性单位，主要价值在于使用风筝战术、赚取圣水和控制，同时有着很低的基础属性。而4圣水及以上的单位定位为进攻性单位。如果我们以4圣水的单位作为基准的话，1圣水单位大约有20%标准强度，2圣水40%，3圣水80%。5圣水及以上单位强度只是略有增长，约110%-130%。
事实上各种卡牌之间的相互影响与相互克制，比如恰好一下消灭一个单位和两下消灭一个单位对卡牌价值的影响很大。限于篇幅，我们不在此做过多讨论。
再来看看攻击距离。
因为单位AI都会默认攻击最近的敌军，所以更远的射程意味着更多的安全性和更长的输出时间。从这一点来看，远程单位的属性应该低于近战单位来保持平衡。CR中射程为5-6的远程单位大约有近战单位30%-40%的基础属性。实际上这个数值可以在很大范围内浮动，因为出于战术需要和AOE的原因，远程单位总是必要的。只要保证远程单位之间横向比较达到平衡即可。
当我们设定好圣水消耗、攻击距离、HP和DPS，只需要根据额外属性对HP和DPS进行调整即可。
一些额外属性的调整规则分析如下：
•AOE单位
CR中单位体积较大，AOE单位通常最多打到2-3个单位。因此视其AOE范围，将攻击力乘以50%-65%即可。
•复数单位的卡牌
在单个单位的圣水消耗对应强度之上适当调高。
•攻城单位
因为不能攻击其他部队，所以属性可以适当调高。
•移动速度
因为风筝战术的盛行，移动速度也成为了一个很重要的属性。移动速度低的单位可以有50%甚至更多的属性，比如皮卡。
•伤害性技能，如冲锋
我们可以根据单位平均输出时间，得到单位伤害的期望值。然后设定技能伤害所占的比例，得到技能伤害期望值和DPS。再将技能伤害期望值除以技能触发次数的期望值就能得到技能伤害。
CR中技能伤害的比例大约是30%-50%。这意味着仍然以基础属性为主，技能伤害为辅。这使得伤害值更加平稳可控，更少出现某个技能单位太强的情况。
•攻击间隔长，单次伤害高
根据攻击间隔长度适当调高属性。
•低HP单位
因为攻击间隔的原因
一部分单位（满级）的属性和伤害期望值除以圣水消耗如下表所示。我们可以看到的一点是近战单位的每圣水对应DPS可能很高，但是因为近战输出环境极差所以仍然比较平衡。但是远程单位的每圣水对应DPS比较接近，都在50-80左右。
卡牌
| 数量
| HP
| DPS
| 圣水消耗
| 强度
| 伤害期望值除以圣水消耗
| 防御塔
| 1
| 3346
| 119
| | 4.0E+05
| | 骑士
| 1
| 2039
| 210
| 3
| 4.3E+05
| 1.4E+05
| 巨人
| 1
| 4864
| 204
| 5
| 9.9E+05
| 2.0E+05
| 哥布林
| 3
| 247
| 140
| 2
| 1.0E+05
| 5.2E+04
| 骷髅
| 3
| 98
| 98
| 1
| 2.9E+04
| 2.9E+04
| 野蛮人
| 4
| 927
| 154
| 5
| 5.7E+05
| 1.1E+05
| 精英野蛮人
| 2
| 1477
| 246
| 6
| 7.3E+05
| 1.2E+05
| 迷你皮卡
| 1
| 1536
| 462
| 4
| 7.1E+05
| 1.8E+05
| 皮卡
| 1
| 5018
| 546
| 7
| 2.7E+06
| 3.9E+05
| 女武神
| 1
| 2252
| 204
| 4
| 4.6E+05
| 1.1E+05
| 野猪骑士
| 1
| 2048
| 256
| 4
| 5.2E+05
| 1.3E+05
| 王子
| 1
| 2123
| 314
| 5
| 6.7E+05
| 1.3E+05
|
表1： 一部分近战单位（满级）的属性和伤害期望值除以圣水消耗
| 卡牌 | 数量 | HP | DPS | 圣水消耗 | 强度 | 伤害期望值除以圣水消耗 | 每单位圣水对应DPS | | 吹箭哥布林 | 1 | 314 | 192 | 3 | 6.0E+04
| 2.0E+04
| 64
| | 投矛哥布林 | 3 | 160 | 56 | 2 | 2.7E+04
| 1.3E+04
| 84
| | 炸弹人 | 1 | 454 | 207 | 3 | 9.4E+04
| 3.1E+04
| 69
| | 弓箭手 | 2 | 370 | 105 | 3 | 7.8E+04
| 2.6E+04
| 70
| | 皇室巨人 | 1 | 3708 | 135 | 6 | 5.0E+05
| 8.3E+04
| 23
| | 火枪手 | 1 | 870 | 232 | 4 | 2.0E+05
| 5.0E+04
| 58
| | 三个火枪手 | 3 | 870 | 232 | 9 | 6.1E+05
| 6.7E+04
| 77
| | 巫师 | 1 | 870 | 237 | 5 | 2.1E+05
| 4.1E+04
| 47
| | 飞斧屠夫 | 1 | 1466 | 170 | 5 | 2.5E+05
| 5.0E+04
| 34
| | 电磁炮 | 1 | 1752 | 379 | 6 | 6.6E+05
| 1.1E+05
| 63
|
表2：一部分远程单位（满级）的属性和伤害期望值除以圣水消耗以及平均每圣水对应的DPS
图2：一部分近战单位（满级）的HP×DPS除以圣水消耗的柱状图。
五、法术牌的价值估算
当我们要制作法术牌时，先给卡牌规划定位和效果，然后找出适合作用的场景并计算收益。需要注意的是，这个场景不应该是最佳的情况，应该只是一个适中的情况，以给玩家留下获得圣水收益的空间。
因为很多法术牌主要价值在于功能而不是伤害，比如飓风和复制。同时因为法术牌比部队牌更加灵活，而且可以在对方半场使用。因此总是有法术牌的使用需求。实际上我们肯定希望玩家至少使用1-2张法术牌，这样游戏会更加有趣和多样。事实上现在CR中的法术牌还比较少，有很大潜力可挖。丰富的法术能够极大的增加游戏的多样性。
主要的法术牌计算方式如下：
•伤害类法术
因为近战单位很大一部分价值在于充当坦克，因此伤害类法术牌应该的价值与远程单位进行比较。远程单位的DPS除以圣水消耗后大约是50-80，输出时间通常为3-10秒，所以每单位圣水的远程单位能够造成的伤害约为150-800。法术牌造成的伤害除以圣水消耗也应该在这个范围之内。CR中的伤害类法术牌属性及期望伤害如表-1所示。
卡牌
| 圣水消耗
| 作用范围
| 伤害
| 对建筑伤害
| 特殊效果
| 特殊效果持续时间
| 期望伤害除以圣水消耗
| 弓箭
| 3
| 4
| 355
| 142
| | | 473
| 电击
| 2
| 2.5
| 231
| 93
| stun
| 0.5
| 289
| 火球
| 4
| 2.5
| 832
| 333
| | | 520
| 火箭
| 6
| 2
| 1792
| 717
| | | 597
| 雷电
| 6
| 3.5
| 1254
| 502
| stun
| 1.5
| 732
| 毒药
| 4
| 3.5
| 88
| 36
| | 10
| 770
| 飓风
| 3
| 5.5
| 84
| | | 3
| 154
| 复仇滚木
| 2
| 3.9
| 365
| 146
| | | 712
|
表3：伤害类法术牌的满级属性及期望伤害
•增益类法术
这种牌的收益比较容易计算。
比如2圣水增加攻速的卡牌，给它设定的场景是buff到5-8圣水的部队，那么它应该增加25%-40%的攻击力/DPS/血量。如果玩家能够buff到更多的部队，那么他就通过这个卡牌获得了更大的收益。
•其他类型的法术
一些其他的法术收益变化太大，可能只能通过测试得到结果。比如克隆和镜像。
六、总结和讨论
我们从宏观角度分析了CR中的核心体验以及对应的数学模型。CR的游戏逻辑是制造大量相互克制的卡牌，通常情况每种战术下都有很多解法来应对，而这些解法能够导致的情况各不相同。玩家需要快速做出选择，而这个过程中不可避免的产生了优势或者劣势。
1、这个数学模型准确吗？有多少调整的余地？
需要注意的是这个模型中的很多数值都有很大的选择余地。这个游戏的核心玩法是通过合理的战术来积累优势，近战肉盾，远程单位和法术牌都有必要的需求。保持玩法多样性的关键点还是类似定位同样种类的卡牌横向达成平衡。举一个简单的例子，即使我们将所有法术牌的伤害都增加50%，我们仍然需要单位卡牌来造成持续输出或者推塔。
文中的推导只能得到大致的数值范围，许多值还是需要通过测试来确定。CR的更新补丁经常有高达20%-30%属性的改动，仍然较少出现过于不平衡的战术或单位。
2、谈谈策略深度与卡牌设计
CR在可视化策略与卡牌克制关系方面做的相当好，AOE与复数单位，攻速快与攻速慢的单位，飞行单位与陆地单位等等。卡牌之间不乏相互克制的关系，但是缺乏配合。卡牌的强度通常是根据单张卡牌和相互克制的卡牌而设定的。
•缺点：对后续加入的卡牌要求较高，难以在多样性和平衡性之间达到平衡。
后续卡牌需要避免和现有卡牌组成combo并产生1+1>2的效果，或者需要同时削弱它们的属性来达到平衡。前一种选择难以避免卡牌趋于同质化，后一种选择实际减少了它们单独出场的机会，也相当于削弱了游戏多样性。
最新加入的飓风和飞斧屠夫的组合就大大超过了预期导致不得不大幅削弱飞斧屠夫。
•优点：在当前情况下比较简单可控，很容易通过几次调节到达平衡而不会产生太多连锁反应。
当然SuperCell肯定考虑过这些优缺点，这应该是他们综合考虑了竞技性和休闲性的结果。可能他们对自己的设计水平相当自信或者他们认为对于手机游戏来说现有框架的策略深度的潜力已经足够。事实上SuperCell近期新出的卡牌确实很成功，扩大了多样性和策略空间。
3、几个由CR想到的点子
最后抛砖引玉，说几个由CR想到的点子：
•为防御塔添加一个攻击次数上限。
o优点：有效减少平局并且略微增加策略深度。
o缺点：增加玩家的理解成本。增加维护平衡性的难度。与其他游戏单位逻辑不一致。
•战斗中玩家没有太多情绪爆发点，放置每一张卡牌都只是积沙成塔的过程。因此可以增加一些明显比其他卡牌强度更高的牌，但是放置次数通过某种的机制严格限制，同时适当增加每一局的游戏时间。
o优点：通过合理的设定，更容易对玩家的战斗过程进行控制。增加付费点。
o缺点：容易产生镜像对局。游戏胜负更加依赖于强力卡牌的数值，降低竞技性和游戏性。增加理解成本。
•可以增加某种宏机制，在战斗开场前选定。比如每出3张卡可以得到额外1圣水，在双倍时间额外获得圣水，消耗额外圣水放置加强的单位。
o优点：看起来很有趣（在我看来）。
o缺点：极大增加了平衡难度和学习成本。降低了休闲性。
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发表于 2017-2-16 15:44:57
